¿Qué son los operadores hermitianos en QFT?

En esta respuesta, Lubos explica que en la teoría cuántica de campos existen operadores lineales hermíticos que representan observables.

Las teorías cuánticas de campos son un subconjunto de las teorías mecánicas cuánticas. Obedecen todos los postulados de la mecánica cuántica, tienen espacio de Hilbert, operadores hermitianos lineales, es decir, observables, obedecen los principios de superposición, calculan probabilidades a partir de valores absolutos al cuadrado de amplitudes complejas, etc.

  1. En QM, todas las variables dinámicas de posición, momento, momento angular, etc. también son operadores y observables hermitianos.

Pero en QFT, todas las variables dinámicas no son hermíticas. Al cuantificar una teoría de campo clásica, no está claro qué variables se promueven a operadores hermitianos y cuáles no. Por ejemplo, para un campo escalar complejo, el operador de campo ϕ ^ ( X , t ) no es hermitiano pero sí lo es el hamiltoniano. El operador numérico es hermitiano. ¿Cuál es la regla general? ¿Qué objetos se promocionan a operador hermitiano?

  1. ¿Qué son los observables en QFT? ¿Deberíamos decir que el hamiltoniano o el operador numérico, etc. son los observables o las amplitudes de dispersión, las tasas de decaimiento, etc. como los observables? Si es lo último, entonces no están asociados con operadores de ningún tipo.

  2. En la mecánica cuántica, existen varios operadores hermitianos que forman la base en el espacio de Hilbert. Pero en QFT, los operadores numéricos parecen ser el único operador cuyos estados propios de una base (eso también en teoría libre). ¿Es eso correcto?

  3. ¿Se puede considerar que el impulso del campo es hermitiano (y observable) y, por lo tanto, sus estados propios forman una base continua como en QM?

Nota: No existe tal cosa como un "campo escalar complejo clásico". Concebir dos campos escalares reales como un campo complejo es una reformulación que facilita el tratamiento teórico, pero no cambia el hecho de que las variables dinámicas "fundamentales" son campos de valores reales. Esta sutileza en la cuantización de campos escalares complejos también se discute aquí .

Respuestas (1)

¿Cuál es la regla general? ¿Qué objetos se promocionan a operador hermitiano?

La regla general es que si la variable clásica es real, el operador cuántico es hermitiano.

¿Qué son los observables en QFT? ¿Deberíamos decir que el hamiltoniano o el operador numérico, etc. son los observables o las amplitudes de dispersión, las tasas de decaimiento, etc. como los observables?

Si por observable quiere decir "algo que se puede observar", entonces los últimos son observables mientras que los primeros no lo son. Pero, en general, cuando se habla de observable en el contexto de QM, se suele decir "un operador hermitiano", en cuyo caso los primeros son observables y los segundos no.

Si es lo último, entonces no están asociados con operadores de ningún tipo.

Las amplitudes de dispersión (de las cuales la tasa de decaimiento es solo un ejemplo) están asociadas a la S operador matricial, que no es hermitiano sino unitario.

En la mecánica cuántica, existen varios operadores hermitianos que forman la base en el espacio de Hilbert. Pero en QFT, los operadores numéricos parecen ser el único operador cuyos estados propios de una base (eso también en teoría libre). ¿Es eso correcto?

No, no es correcto. En general el conjunto completo de operadores conmutadores está formado por los generadores de traslaciones PAG m , los operadores de Casimir del Álgebra de Poincaré, los generadores de simetrías internas (por ejemplo, el operador de carga, que no es más que el operador numérico con una curiosa normalización), etc. Que este conjunto sea finito es una de las hipótesis de trabajo de cualquier enfoque axiomático a QFT.

¿Se puede considerar que el impulso del campo es hermitiano (y observable) y, por lo tanto, sus estados propios forman una base continua como en QM?

Si por impulso de campo quiere decir PAG m , entonces sí (como en el punto anterior). Si te refieres a π ( X ) , entonces, en general, no (consulte Interpretación física de los momentos conjugados canónicos en la teoría de campos ) para obtener más detalles).

Su penúltimo párrafo me parece extraño (porque no entiendo lo que se supone que significa "hay varios operadores hermitianos que forman la base en el espacio de Hilbert"). ¿Está tratando de decir que los operadores que enumera forman un conjunto completo de observables conmutables , es decir, sus estados propios conjuntos producen una base propia sin degeneración?
@ACuriousMind sí, eso es exactamente lo que quise decir.
@AccidentalFourierTransform La razón por la que los operadores son hermitianos en QM es que sus valores propios son reales. Cualquier cantidad medible debe ser real. Pero en QFT, vemos algo que no es medible, también es hermético (por alguna vaga razón).
@AccidentalFourierTransform La siguiente parte de la respuesta no parece ser correcta en absoluto: " La regla general es que si la variable clásica es real, el operador cuántico es hermitiano ". Contraejemplo: posición X es una variable real clásica, pero ¿cuál es el operador hermitiano correspondiente en QFT? No se puede medir la posición de una partícula en QFT.
@MikhailSkopenkov En la teoría de campos, ya sea mecánica clásica o cuántica, las variables del espacio de fase son campos, no posiciones, por lo que su pregunta no tiene sentido. En la cuantificación canónica, reemplazamos variables canónicas por operadores, y si la primera es real, la segunda es hermítica, sin excepciones. En la teoría cuántica de campos no existe un operador correspondiente a la posición, precisamente porque en la teoría clásica de campos no existe una variable espacial de fase correspondiente a la posición. La afirmación que hago en la publicación no está relacionada con la inexistencia de un operador de posición: no estamos cuantificando la posición.
@AccidentalFourierTransform Estoy de acuerdo con su comentario, pero esta es solo una forma de ver QFT. Por ejemplo, QFT apela a "amplitudes de una partícula para propagarse desde ( X 0 , t 0 ) a ( X 1 , t 1 ) . Aquí X 1 (y X 0 ) es una posición. ¡Pero no hay forma de medir esta posición, y no hay un operador hermitiano correspondiente! Solo piense en una gente con los pies en la tierra leyendo su respuesta.
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