¿Por qué no existe el fenómeno de Gibb en QM?

¿Por qué no vemos ningún fenómeno de Gibb en la mecánica cuántica?

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En los bordes afilados (discontinuidades), generalmente encontramos zumbidos. Esto se puede observar en muchos fenómenos físicos (por ejemplo, ondas de choque). Naturalmente, siempre que haya una discontinuidad brusca en las funciones de onda, esperaría un zumbido en la probabilidad de encontrar una partícula alrededor de ese borde.

¿Qué quieres decir? ¿Qué tiene que ver el fenómeno de Gibb con la mecánica cuántica? Un poco (o mucho) más de contexto ayudaría.
¿No son las franjas de interferencia en la doble rendija de electrones? es.wikipedia.org/wiki/…

Respuestas (2)

En primer lugar, el fenómeno de Gibbs es un efecto matemático: es la aparición de oscilaciones estrechas pero intensas en torno al valor correcto cada vez que se aproxima una función con una discontinuidad mediante su expansión de Fourier que se trunca.

Este fenómeno no ocurre cuando la función relevante es una función de onda. ψ ( X , y , z ) en mecánica cuántica por una sencilla razón: las funciones de onda no tienen tales discontinuidades. Si una función de onda tuviera un salto de este tipo, entonces su derivada ψ ′ o ∇ X tendría un d -función en el punto del salto, y su cuadrado se integraría al infinito ( d 2 es infinitamente mayor que solo d ).

Pero esta integral es proporcional a una fórmula para el valor esperado de la energía cinética

∫ − ∞ ∞ | ψ ′ | 2 d X = − ∫ ∞ ∞ ψ ∗ ψ ″ d X
por integración por partes, por lo que cada vez que diverge, significa que la energía es infinita, lo cual es físicamente imposible. Es por eso que las funciones de onda de energía finita del mundo real no pueden tener discontinuidades similares a saltos como una función de las coordenadas espaciales, aunque sus primeras derivadas ya pueden tener tales saltos.

Si no existen tales cosas en la función de onda, entonces, ¿cómo es que las partículas cuánticas se crean y aniquilan en la física de partículas? Además, ¿cómo colapsa la función de onda?
En cualquier proceso del mundo real descrito por QFT, las partículas nunca se crean en un punto estrictamente definido con Δ X = 0 por la misma razón que ya he explicado: eso requeriría Δ pag = ∞ por el principio de incertidumbre y que también requeriría una energía infinita. En realidad, las partículas siempre se crean en funciones de onda que no desaparecen en una región completa del espacio de posición. Las funciones de onda que estarían localizadas en puntos ni siquiera serían normalizables.
Además, cuando se localiza a una distancia menor que la longitud de onda de Compton, la producción de nuevas partículas (y otros efectos relativistas) se vuelve extrema. ... No hay nada como un "colapso de la función de onda". Lo que realmente sucede cuando la gente equivocada habla de un "colapso" es que aprendemos los resultados de una medición, por lo que es práctico para nosotros reemplazar las complicadas probabilidades originales listas para todas las opciones por las probabilidades condicionales en las que ya se han tomado los valores medidos particulares. en cuenta y las opciones restantes olvidadas. Nada "real" se derrumba en la Naturaleza.
En lugar de definir la energía cinética como la suma al cuadrado de ψ ′ , podemos considerarlo como el producto escalar de ψ ′ consigo mismo, lo que equivale a lo mismo para cualquier función de onda sana, y luego definir el producto escalar de la función delta consigo mismo como 1 . Y el producto escalar de dos deltas diferentes entre sí (dos posiciones diferentes) como 0 . Tiene sentido para la energía cinética de una función de onda con una discontinuidad de salto.
Hola Rajesh, no puedes "definir" el producto escalar de d ( X ) consigo mismo para ser uno, es como tratar de "definir" 5 + 5 ser 3 . Pero 5 + 5 = 10 puede calcularse y de la misma manera, el producto escalar de d ( X ) consigo mismo es la integral de d ( X ) 2 que es infinito porque es d ( 0 ) si uno trata uno de los factores como la función de prueba F ( X ) , y d ( 0 ) es infinito, lo que puede explicarse de muchas maneras. Si "redefinieras" los productos internos, destruirías la ley distributiva en el espacio de Hilbert y otras cosas. Simplemente no puede redefinir los resultados calculables.
Hola Lubos: Sabemos d ∗ d = d , así que me pregunto el producto escalar de ⟨ d , d ⟩ = 1 . Estoy desconcertado, ¿dónde me equivoco con esta línea de pensamiento? PD: ∗ significa convolución.
Como complemento, una discusión relacionada: math.stackexchange.com/q/12944/2987
Estimado Rajesh, la convolución no es lo mismo que un producto puntual. La relación más simple es que la transformada de Fourier de la convolución es el producto puntual de las transformadas de Fourier. Entonces d ∗ d = d sigue desde F ( d ∗ d ) = F ( d ) que es equivalente a 1 ⋅ 1 = 1 para tres funciones constantes de X o pag . Pero el producto interno no es convolución. En particular: el resultado del producto interno es una función, el resultado de la convolución es una función completa (interpretada como vector de estado en QM).
Usando ideas relacionadas con su convolución y trucos de Fourier, ⟨ d , d ⟩ = ∞ básicamente porque este producto interno implica una integral adicional sobre todo el eje, para convertir una función en un escalar, y la integral de 1 sobre el eje real diverge. La primera respuesta en el foro de matemáticas es simplemente incorrecta, especialmente para un matemático, porque para ellos, una distribución es una forma lineal en el espacio de funciones ordinarias y d no es uno, por lo que uno debería decir que ∫ d 2 está mal definido.

Recuerda eso

pag Ψ = − i ℏ ∇ Ψ

También,

mi Ψ = i ℏ ∂ t Ψ

Si hay discontinuidad en la función de onda, el 4-momento sería infinito.

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