Relaciones de conmutación canónicas

¿Es lógicamente correcto aceptar la relación de conmutación canónica (CCR)?

[ X , pag ]   =   i ℏ

como un postulado de la mecánica cuántica ? ¿O es más correcto derivarlo dada alguna forma para pag en la base de la posición?

Entiendo que el formalismo QM funciona, es solo que a veces termino pensando en círculos cuando trato de ver dónde están los postulados.

¿Podría alguien darme una explicación clara y lógica de lo que debería tomarse como un postulado a este respecto, y una explicación de por qué su punto de vista es el más correcto, en algún sentido?

Respuestas (3)

Tu carrera en círculos se detendrá una vez que te comprometas con una elección.

Qué considerar como postulado es siempre una cuestión de elección (usted o quienquiera que escriba una exposición de los fundamentos). Uno comienza desde un punto donde el desarrollo es, en cierto sentido, el más simple. Y uno puede motivar los postulados por analogías o lo que sea. Los CCR son un simple punto de partida independiente de las coordenadas.

Sin embargo, es más sensato introducir el momento como el generador infinitesimal de una traslación en el espacio de posiciones. Este es su sentido fundamental y esencial para el teorema de Noether, y tiene como simple corolario el CCR.

Puede aceptarlo como un postulado (en cuyo caso, a menudo es más conveniente postular el CCR y el CAR para los operadores de creación y aniquilación) o puede derivar la relación en la base de la posición con

X ^ = X ∧ pag ^ = − i ℏ ∇ ⇒ [ X ^ , pag ^ ] = − i ℏ X ∇ + i ℏ + i ℏ X ∇

ya que tienes que tomar la regla del producto cuando aplicas ∇ X a una función F .

También podría obtenerlos por el principio de equivalencia con la mecánica clásica, que dice que { q , pag } = 1 para los soportes de Poisson { ⋅ , ⋅ } que están relacionados con el conmutador por un factor de i ℏ . Que este principio de equivalencia se cumple es visible, por ejemplo, en el teorema de Ehrenfest .

La elección de los postulados es algo arbitraria en el sentido de que, dado un conjunto de postulados, casi siempre se puede encontrar un conjunto alternativo. La elección se guía por criterios subjetivos como la sencillez, la cercanía a la experimentación o la elegancia teórica.

Sin embargo, hay situaciones en las que algunos postulados/teoremas no tienen sentido. Por ejemplo, [ X ^ , pag ^ ] = i ℏ no tiene sentido en la formulación de la mecánica cuántica de Wigner & Moyal, ni como postulado ni como teorema, porque esta formulación de la mecánica cuántica no utiliza operadores :

La principal ventaja de la formulación del espacio de fase es que hace que la mecánica cuántica parezca lo más similar posible a la mecánica hamiltoniana al evitar el formalismo del operador, "liberando" así la cuantización de la "carga" del espacio de Hilbert.

Aunque la formulación del espacio de fase de la mecánica cuántica no utiliza relaciones de conmutación, todavía se pueden obtener como un teorema cuando se hace la transición del estado general del espacio de fase a la función de onda del espacio de configuración: W ( pag , X ; t ) → Ψ ( X ; t ) . Precisamente, una derivación explícita de la [ X ^ , pag ^ ] = i ℏ se da en mi artículo Mecánica cuántica del espacio de fase definida positiva

Wigner-Moyal aún necesita construir un espacio de Hilbert para que sea una base completa, y luego están los operadores, y el CCR tiene sentido, aunque no como un postulado.
@ArnoldNeumaier: Antes de responder, me gustaría saber qué quiere decir exactamente con "Wigner-Moyal todavía necesita construir un espacio Hilbert para que sea una base completa". Puedo interpretar eso de varias maneras.
El OP preguntó sobre CCR como parte de una base para QM. Usted mencionó a Wigner-Moyal. No importa lo que quiera decir con eso, construye un espacio de Hilbert, entonces el CCR tiene sentido allí pero no como un postulado, o no lo tiene, entonces es una base pésima.
@ArnoldNeumaier: Lo siento, pero esto sigue sin estar claro para mí. Todavía puedo interpretar sus palabras de varias formas alternativas y no puedo elegir la respuesta correcta. Déjame ser más específico. ¿Por qué piensa/cree que es necesario construir un espacio de Hilbert para fundamentar la formulación de Wigner-Moyal, cuando ni siquiera requiere funciones de onda?
Sin la función wqve, la configuración es demasiado restringida. ¿Cómo se calcula el color del oro en la configuración de Wigner-Moyal, sin tener una función de onda?
@ArnoldNeumaier El color del oro se obtiene de la diferencia entre dos niveles de energía. El cálculo de las energías disponibles en la formulación de Wigner & Moyal no requiere una función de onda sino el uso de la ecuación en estrella del espacio de fase correspondiente H ( pag , X ) ⋆ ρ mi ( pag , X ) = mi ρ mi ( pag , X ) . Como se indicó anteriormente, no se necesita un espacio de Hilbert para formular QM.
@juanrgra: el espacio de Hilbert se puede construir en la descripción de Wigner-Moyal, por lo tanto, siempre está ahí, incluso si se evita aparentemente.
@ArnoldNeumaier Como mencioné anteriormente, el espacio de Hilbert se puede obtener del espacio de fase. La clave aquí es que la formulación de Wigner & Moyal continúe funcionando para sistemas cuya descripción está más allá del espacio de Hilbert. Podemos construir funciones de Wigner para estados fuera de un espacio de Hilbert.
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