¿Por qué decimos "La curvatura del espacio-tiempo es gravedad"?

No, no deberíamos decir que los símbolos de Christoffel son la gravedad. La gran razón, que realmente debería ser suficiente, es que dependen de las coordenadas. Uno de los principios fundamentales de la Relatividad General es que las coordenadas no importan . Todo lo físico debe ser expresable de manera independiente de las coordenadas y/o tensorial.

Como dije en los comentarios, personalmente creo que es un poco ridículo sugerir que el uso de coordenadas polares de alguna manera trae la gravedad a la mezcla, mientras que el uso de coordenadas cartesianas no lo hace. La ecuación de una línea recta cambia, pero puedes verificar usando cualquier número de métodos que sigue siendo una línea recta. Si las coordenadas polares muestran la gravedad, ¿de dónde viene esa gravedad? ¿Qué objeto físico lo está generando? No había ninguno en coordenadas cartesianas.

Pero déjame abordar tus tres puntos:

1. No es cierto en generalidad absoluta que los símbolos de Christoffel correspondan al campo gravitatorio, por las razones que di anteriormente. Un campo gravitatorio se manifiesta en los símbolos de Christoffel, pero no al revés. También recuerde que incluso en la gravedad newtoniana se mantiene el principio de equivalencia, y uno podría argumentar que solo las fuerzas de marea son medibles para alguien en caída libre, por lo que ese es un argumento a favor de la curvatura.

2. Nuevamente, incluso en el espacio-tiempo plano hay coordenadas curvas. "Relativista especial" significa que la métrica es$\eta_{\mu\nu}$cuando se expresa en coordenadas locales lorentzianas (es decir, cartesianas), no en ninguna coordenada.

3. Esto es básicamente lo mismo que 2, pero vea el siguiente párrafo.

Creo que el problema profundo es que estás confundiendo la gravedad con la aceleración coordinada . De hecho, hace un muy buen punto en su argumento número 3, pero saca la conclusión equivocada. La lección del principio de equivalencia no es que la aceleración sea relativa y, por lo tanto, la gravedad sea relativa. Podría tomarlo como la conclusión, pero entonces la palabra "gravedad" ya no es muy útil porque depende de las coordenadas.

En cambio, la lección que debes sacar es que "gravedad" debe referirse a algo que tiene una existencia física independiente del observador, y ese algo son las fuerzas de marea, precisamente por el principio de equivalencia . Dado que la aceleración de coordenadas es relativa, lo más inteligente es hacer que "gravedad" signifique algo que no es relativo.

Insisto con un punto muy importante: esto no es solo una cuestión de definición; la realidad física me respalda aquí. Digo esto porque resulta que cada vez que hay fuerzas de marea, uno puede identificar algún objeto físico (planeta, estrella, lo que sea) responsable de ello. Sin embargo, a veces los objetos parecen no obedecer la ecuación geodésica del espacio plano cartesiano sin una fuente aparente de gravedad cercana. Para mí, tiene mucho más sentido decir que lo que siempre se manifiesta cerca de un objeto pesado es la gravedad y que lo que a veces sucede como resultado de coordenadas extrañas no es la gravedad.

Para responder a su última pregunta directamente, no deberíamos, porque en cualquier punto existe una transformación de coordenadas que hace que los símbolos de Christoffel desaparezcan (coordenadas geodésicas). En otras palabras, un observador que sigue una geodésica está en caída libre y no experimenta ninguna fuerza de gravedad.

Lo que el observador SÍ nota es la desviación geodésica. Esta es la clave que diferencia entre "gravedad" y "coordenadas que parecen gravedad". Independientemente de las coordenadas, si un observador ve una desviación geodésica, hay gravedad presente. Si no, el espacio-tiempo es plano. Esta es otra forma de decir que en presencia de gravedad (desviación geodésica), la curvatura de Riemann es distinta de cero.

Cuando analiza una interacción en la naturaleza debido a un campo, debe considerar dos cosas: qué determina el campo y qué determina el campo. Para comenzar con el ejemplo más simple del electromagnetismo, las ecuaciones de Maxwell muestran las cuatro determinaciones de corriente$F^{\mu\nu}$(hasta invariancia de calibre), mientras que la ley de fuerza de Lorentz determina la fuerza de cuatro en una partícula cargada.

Ahora consideremos la gravedad. Verbalmente decimos que la materia le dice al espacio cómo doblarse (esta es la parte de determinación del campo) y el espacio le dice a la materia cómo moverse (esta es la parte determinada por el campo). Matemáticamente, el primero es expresable en términos del tensor de Riemann (o más concisamente en términos del tensor de Ricci), y el segundo en términos de símbolos de Christoffel. El primero solo usa tensores; el último usa no tensores en términos de los cuales podemos escribir una fórmula para el tensor de Riemann.

Parte 1:$R_{\mu\nu}-\frac{1}{2}g_{\mu\nu}g^{\rho\sigma}R_{\rho\sigma}+\Lambda g_{\mu\nu}=\kappa T_{\mu\nu}$. Parte 2: la segunda ley de Newton$m\dfrac{d^2 x^i}{dt^2}=f^i$generaliza en relatividad especial a$m\dfrac{d^2 x^\mu}{d\tau^2}=f^\mu$y en relatividad general a$m\dfrac{d^2 x^\mu}{d\tau^2}=f^\mu-m\Gamma^{\mu}_{\nu\rho}\dfrac{dx^\nu}{d\tau}\dfrac{dx^\rho}{d\tau}$.

Vieja pregunta, pero quería contribuir.

Creo que es correcto. En realidad, se está haciendo eco de un punto de vista que históricamente sostuvo el propio Einstein. En una carta escrita en 1950 a Max von Laue declaró:

Es cierto que en el caso de la$R^i_{klm}$[los componentes del tensor de curvatura de Riemann] desaparecen, por lo que uno podría decir: "No hay campo gravitacional presente". Sin embargo, lo que caracteriza la existencia de un campo gravitatorio desde el punto de vista empírico es la no desaparición del$\Gamma^l_{ik}$[los componentes de conexión], no la desaparición de la$R^i_{klm}$. Si uno no piensa intuitivamente de esa manera, no puede comprender por qué algo como la curvatura debería tener algo que ver con la gravitación. En cualquier caso, ninguna persona razonable habría dado con tal cosa. Falta la clave para entender la igualdad de masa inercial y gravitacional [el Principio de Equivalencia].

Einstein no vio la dependencia de las coordenadas como un problema, sino como una propiedad física real del campo gravito-inercial. Vea también la respuesta de Ron Maimon aquí .

Por supuesto, solo los campos gravitatorios uniformes globales pueden cancelarse mediante una elección de coordenadas (*). En general, cuando hay una curvatura del espacio-tiempo al menos en algún lugar del dominio, esto no es posible (**). Desde el punto de vista de Einstein, la gravedad no es una curvatura del espacio-tiempo, sino que la curvatura es una manifestación de la gravedad.

El punto de vista de Einstein parece haber pasado de moda estos días, ya que va en contra de la idea de que las cantidades "reales" deberían tener una existencia absoluta independiente del observador, pero en principio no tiene nada de malo.

Véase también este documento

Abstracto:

Argumento que, contrariamente al folclore, a Einstein nunca le interesó realmente geometrizar el campo gravitacional o (posteriormente) electromagnético; de hecho, pensó que la afirmación misma de que la Relatividad General geometriza la gravedad “no dice nada en absoluto”. En cambio, mostraré que Einstein vio la "unificación" de la inercia y la gravedad como uno de los principales logros de la Relatividad General. Curiosamente, Einstein no localizó esta unificación en las ecuaciones de campo sino en su interpretación de la ecuación geodésica, la ley del movimiento de las partículas de prueba.

Y esta breve monografía sobre el tema

Abstracto:

Existe cierta confusión, como se evidencia en la literatura, con respecto a la naturaleza del campo gravitatorio en la Teoría General de la Relatividad de Einstein. Se argumenta aquí que esta confusión es el resultado de un cambio en la interpretación del campo gravitatorio. Einstein identificó la existencia de la gravedad con el movimiento inercial de los cuerpos en aceleración (es decir, cuerpos en caída libre), mientras que los físicos contemporáneos identifican la existencia de la gravedad con la curvatura del espacio-tiempo (es decir, las fuerzas de marea). La interpretación de la gravedad como una curvatura en el espacio-tiempo es una interpretación con la que Einstein no estaba de acuerdo.

(*) Cabe señalar también que Einstein consideró las fuerzas de inercia no como "pseudo-fuerzas", sino como "fuerzas" gravitatorias reales que se originan en la circunstancia de que, en ciertos marcos, las masas distantes en el universo aceleran con respecto al observador. ; esto induce estas "fuerzas" de manera similar al moverse en relación con una carga induce fuerzas magnéticas.

En consecuencia, el hecho de que esta parte (uniforme, dada la distancia y distribución de las fuentes) del campo gravitatorio pueda eliminarse utilizando un sistema de coordenadas diferente se derivaría de la circunstancia de que en este nuevo marco las masas distantes no están acelerando, y por lo tanto, solo sus fuerzas de marea (localmente insignificantes) son detectables, en principio.

(**) Un ejemplo en el que está claro que hay un campo gravitatorio presente pero no una curvatura local (es decir, fuerzas de marea) se puede encontrar en la gravedad newtoniana: una masa esférica de densidad uniforme con una cavidad esférica no concéntrica en su interior. Hay un campo gravitacional uniforme dentro de la cavidad pero no hay fuerzas de marea. Claramente, habrá fuerzas de marea muy cerca y dentro de las paredes de la cavidad, pero no localmente dentro de la cavidad misma. Esperaría que, en el límite apropiado, este resultado se transfiera a la relatividad general.