Anomalías cuánticas y simetrías cuánticas

Question

Anomalías cuánticas y simetrías cuánticas

Física
integral de trayectoria
anomalías cuánticas
ruptura de simetría
formalismo lagrangiano
teoría cuántica de campos

itamarhason

En las Teorías Cuánticas de Campos (QFT) existe un fenómeno bien conocido de anomalías, donde una simetría clásica se rompe en la teoría cuántica debido a una supuesta anomalía . Esta ruptura de simetría puede entenderse en la formulación integral de caminos como resultado de la no invariancia de la medida funcional bajo la transformación de simetría clásica. Aunque la acción en sí es invariante, la medida funcional podría no serlo y, por lo tanto, si ese fuera el caso, la integral de trayectoria tampoco sería invariante. Para leer más, puede buscar en wikipedia .

Mi pregunta es: ¿es posible que la acción no sea invariante, y la medida tampoco, pero sí la integral de trayectoria? Es decir, la falta de invariancia de la acción y la medida se anularían entre sí, para formar una integral de trayectoria invariante, de tal forma que daría simetría en la teoría cuántica, pero no en la clásica.

Supongo que no es posible, pero ¿hay alguna prueba?

itamarhason

Creo que tengo una sugerencia para una prueba: para que la teoría sea invariante bajo la transformación sugerida, todas las funciones de correlación deben obedecer a la simetría. Por lo tanto, al relacionar estas funciones de correlación con la derivada de la función de partición, se obtienen muchas derivadas de la acción. Estas derivadas deben ser invariantes bajo la simetría y, por lo tanto, si todas las derivadas son invariantes, se esperaría que la acción misma también lo fuera.

Adán

A menos que la acción no sea analítica, entonces hay una contracción. Tal vez podrías escribir tu prueba como respuesta y podríamos ver si tiene sentido o no.

itamarhason

@Adam - lo hará.

itamarhason

Reconsiderándolo, creo que mi "prueba" es defectuosa porque al obtener las funciones de correlación tomas las derivadas funcionales con respecto a una función auxiliar. El hecho de que estos derivados desaparezcan no es suficiente en sí mismo porque estos derivados no encapsulan el comportamiento del derivado con respecto a los campos mismos, que es lo que debería interesarme.

Pedro Kravchuk

En algunas situaciones, una anomalía cuántica puede ser cancelada por una anomalía clásica (es decir, proveniente de la acción). Un ejemplo es una teoría de Chern-Simons sobre una variedad con un límite, con fermiones quirales viviendo en el límite. También hay situaciones, si no recuerdo mal, en las que una anomalía cuántica en una descripción del sistema, digamos, en la teoría UV, se reproduce en una anomalía clásica en la descripción IR.

Pedro Kravchuk

Véase, por ejemplo, Aspectos globales del álgebra actual por Witten, Nucl Phys B 223, 422

Respuestas (2)

Anomalías cuánticas y simetrías cuánticas

Creo que tengo una sugerencia para una prueba: para que la teoría sea invariante bajo la transformación sugerida, todas las funciones de correlación deben obedecer a la simetría. Por lo tanto, al relacionar estas funciones de correlación con la derivada de la función de partición, se obtienen muchas derivadas de la acción. Estas derivadas deben ser invariantes bajo la simetría y, por lo tanto, si todas las derivadas son invariantes, se esperaría que la acción misma también lo fuera.
A menos que la acción no sea analítica, entonces hay una contracción. Tal vez podrías escribir tu prueba como respuesta y podríamos ver si tiene sentido o no.
Reconsiderándolo, creo que mi "prueba" es defectuosa porque al obtener las funciones de correlación tomas las derivadas funcionales con respecto a una función auxiliar. El hecho de que estos derivados desaparezcan no es suficiente en sí mismo porque estos derivados no encapsulan el comportamiento del derivado con respecto a los campos mismos, que es lo que debería interesarme.
En algunas situaciones, una anomalía cuántica puede ser cancelada por una anomalía clásica (es decir, proveniente de la acción). Un ejemplo es una teoría de Chern-Simons sobre una variedad con un límite, con fermiones quirales viviendo en el límite. También hay situaciones, si no recuerdo mal, en las que una anomalía cuántica en una descripción del sistema, digamos, en la teoría UV, se reproduce en una anomalía clásica en la descripción IR.
Véase, por ejemplo, Aspectos globales del álgebra actual por Witten, Nucl Phys B 223, 422

qmecanico · Answer 1

Comentarios a la pregunta (v2):

Tradicionalmente, la acción clásica $S$ se asienta en el factor de Boltzmann $\exp\left[\frac{i}{\hbar} S\right]$ detrás de una potencia inversa de $\hbar$ en la integral de trayectoria , mientras que la medida de la integral de trayectoria es independiente de $\hbar$ . En la forma convencional de contar, decimos que el jacobiano $J$ de la medida integral de trayectoria es un efecto de bucle proporcional a $\hbar$ , mientras que la variación de la acción clásica $S$ es a nivel de árbol, es decir, independiente de $\hbar$ . De todos modos, el resultado es que, en un entorno habitual, las dos variaciones tienen diferentes $\hbar$ -pedidos, y no puede cancelar.
Sin embargo, en principio se puede introducir una acción cuántica
$\begin{matrix} (A) & W (ℏ) = S + \sum_{norte = 1}^{\infty} ℏ^{norte} {METRO}_{norte} = S + ℏ {METRO}_{1} + O (ℏ^{2}) \end{matrix}$ $\tag{A} W(\hbar)~=~S+ \sum_{n=1}^{\infty}\hbar^n M_n~=~ S+\hbar M_1+{\cal O}(\hbar^2)$ con términos cuánticos. Entonces el factor de Boltzmann se convierte en $\begin{matrix} (B) & Exp [\frac{i}{ℏ} W] = Exp [\frac{i}{ℏ} S] {mi}^{i {METRO}_{1}} (1 + O (ℏ)), \end{matrix}$ $\tag{B} \exp\left[\frac{i}{\hbar} W\right]~=~\exp\left[\frac{i}{\hbar} S\right]e^{iM_1}(1+{\cal O}(\hbar)),$ para que una cancelación pueda tener lugar formalmente entre el $M_1$ -factor de acción y la medida integral de trayectoria.
Parece apropiado mencionar que dicha cancelación es la idea principal detrás de la ecuación maestra cuántica (QME)
$\begin{matrix} (QME) & \frac{1}{2} (W, W) = i ℏ Δ W \end{matrix}$ $\frac{1}{2}(W,W)~=~i\hbar\Delta W\tag{QME}$ en el formalismo de Batalin-Vilkovisky . Los izq. y rhs. de los QME anteriores están asociados con la acción y el jacobiano, respectivamente, lo que conduce a una simetría BRST (generalizada) de la integral de trayectoria.
Sin embargo, en la práctica en un QFT local , el operador BV (también conocido como el extraño Laplaciano) $\Delta$ es objeto singular. El QME generalmente solo se cumple si ambos lados del QME son cero por separado, es decir, las partes de acción y medida se cancelan por separado en aplicaciones prácticas.

Referencias:

IA Batalin & GA Vilkovisky, Álgebra de calibre y cuantificación, Phys. Letón. B 102 (1981) 27–31.
W. Troost, P. van Nieuwenhuizen y A. Van Proeyen, Anomalías y el formalismo lagrangiano de Batalin-Vilkovisky, Nucl. física B333 (1990) 727 .
nLaboratorio _

1. Sé que la variación de la medida da un efecto de bucle único, pero la variación de la acción contribuye a todos los bucles, no solo al nivel del árbol. Quiero decir, una variación en la acción contribuiría a todos los bucles a través de propagadores que son inducidos por la acción. Las contribuciones de los bucles superiores se inducen a partir de la acción. La imagen clásica se induce a partir de la acción a través de los diagramas de nivel de árbol, pero los diagramas de bucle también se inducen a partir de la acción. Tal vez quiere decir que hay una variación de nivel de árbol que no se puede eliminar con la variación de medida; esto lo puedo aceptar.
Creo que podemos reformular tu primer comentario de una manera más sencilla: La variación de la medida es independiente de $\hbar$ mientras que la acción tiene un $\hbar$ coeficiente, por lo que simplemente no pueden cancelarse entre sí.
Creo que los comentarios 2, 3 y 4 son confusos, y 1 es una buena respuesta en sí misma.

itamarhason · Answer 2

Hay una prueba simple de que la cancelación es imposible (al menos a menos que esté dispuesto a agregar al clásico un término proporcional a $\hbar$ ), estoy reformulando una respuesta de @Qmechanic en un lenguaje más simple:

La anomalía, o la variación de medida que es la fuente típica de la anomalía, aporta un término que es independiente de $\hbar$ , mientras que cualquier variación de la acción viene con una $\frac{1}{\hbar}$ coeficiente. Por lo tanto, simplemente no pueden cancelarse entre sí.

Anomalías cuánticas y simetrías cuánticas

itamarhason

itamarhason

Adán

itamarhason

itamarhason

Pedro Kravchuk

Pedro Kravchuk

Respuestas (2)

qmecanico

itamarhason

itamarhason

itamarhason

qmecanico

itamarhason

Identidad anómala de Slavnov-Taylor

¿Por qué no hay anomalía cuando se cuantifica la mecánica de partículas?

Ruptura espontánea de simetría de SU(2)SU(2)SU(2) en campos escalares reales y complejos

Simetrías del Modelo Estándar: exactas, anómalas, rotas espontáneamente

Si :V(ϕ)::V(ϕ):: V(\phi) : no es local en el espacio, ¿eso significa que la teoría cuántica de campos interactivos no es local?

"Encontrar el Lagrangiano de la teoría"

Equivalencia de cuantización canónica y cuantización integral de trayectoria

Varios puntos estacionarios de la acción funcional.

Confusión sobre el cálculo de la acción efectiva 1PI usando integrales de ruta

Posible error tipográfico en QFT de Schwartz, p. 629