KdV sugiere una conexión entre las olas en aguas poco profundas y el potencial en la ecuación de Schrödinger. ¿Cuál es la explicación intuitiva?

No estoy seguro de qué intuición está buscando en las similitudes de los modelos matemáticos... ¿Es como la intuición sobre el ritmo similar de dos piezas musicales muy diferentes? Me temo que todo está en las matemáticas.

Es decir, el KdV es una ecuación solucionable con la solución de solitón "mágica" prototípica$v(x,t)=-2c \operatorname{sech} ^2 (\sqrt{c}(x-ct))$, esta forma estando protegida por una infinidad de leyes de conservación, se aplica a aguas poco profundas, y así evidencia olas solitarias.

De manera puramente formal, para un parámetro nocional "tiempo", no tiempo real , si un potencial de Schroedinger sucede (¿¡!?) También obedece a esta ecuación, entonces sabes cómo deformarlo, es decir, encontrar una familia de potenciales de un parámetro ( t ). que tienen el mismo espectro que él. ¿Cómo? Presumiblemente sabe que dado el KdV, puede definir un operador antihermitano

$$B=-4\partial_x^3 +3(v\partial_x + \partial_x ~v),$$ que se combina con el operador de Sturm-Liouville (¡Hermiteno hamiltoniano!) $$H=-\partial_x^2 +v,$$ para producir la célebre ecuación de compatibilidad de Lax, $$H_t=[B,H],$$ que se supone que te recuerda la ecuación de movimiento de Heisenberg (pero en tiempo real , no este parámetro falso; aquí, B juega el papel del hamiltoniano y H el papel del operador).

Entonces se puede resolver la ecuación para una U unitaria ,

$$U_t= BU,$$ de modo que $B=U_t U^{-1}$, y luego la ecuación de Lax lo lleva al equivalente hamiltoniano hermítico dependiente de t , $$H(t,x)=U(t,x) H(0,x)U(t,x)^{-1}.$$

Esto significa que, definiendo una función de onda deformada a través de$\psi_t=B\psi$,

$$\psi(t,x)= U(t,x) \psi(0,x),$$ el espectro se conserva a través de esta transformación de equivalencia del espacio de Hilbert, $$(H(0,x)-\lambda)\psi(0,x)=0 ~~\Longrightarrow (H(t,x)-\lambda)\psi(t,x)=0.$$

¡Guau! Efectivamente, el potencial ha fluido de este falso parámetro temporal a otro diferente, que sin embargo ha conservado su "forma": el conjunto de autovalores que más o menos lo caracterizan (evitando alborotos... una larga historia). (Gardner, Greene, Kruskal y Miura, 1967 ). El flujo isoespectral y la preservación de la forma de los solitones son dos aspectos de la misma infinidad de integrales conservadas , mayor simetría, del KdV.

Podrías pensar que esto es "Gee-wizz academic", pero ¡no! ¡En realidad encuentra aplicaciones en construcciones de potencial supersimétrico isoespectral , específicamente sin reflexión, en la "vida real"!

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Nota añadida . En el medio siglo transcurrido desde la introducción del método de dispersión inversa mencionado anteriormente, el KdV se ha convertido en el pilar de la rama de integrabilidad de las matemáticas aplicadas, y así con diversas aplicaciones a la mecánica de fluidos, más allá de las ondas de gravedad superficiales, a los solitones internos en el océano. corrientes subterráneas; física del plasma; acústica no lineal de líquidos burbujeantes; babosas de vacío en lechos fluidizados y flujo de magma y ondas de conducción en geofísica; la Gran Mancha Roja de Júpiter, etc...

Mi impresión es que es el primer recurso para cualquier estudio de la no linealidad, al igual que el oscilador armónico es la base de una gran parte de la mecánica cuántica. Entonces, para ser algo deconstructivo, la conexión no es entre las ondas de aguas poco profundas y el espectro de la ecuación de Schroedinger, sino, más bien, el flujo isoespectral de la conexión íntima de los operadores especiales de Sturm-Liouville con la PDE integrable más simple, el KdV, que subyace a esa cultura. . Cada uno tiene docenas de aplicaciones y ramificaciones, pero la profundidad de la conexión es matemática, no un puente tosco y listo entre modelos de sistemas físicos... (¡Me puede caer un rayo, en este foro de física por admitir eso!).