Demuestra que ∑a2bc=(n+36)+(n+26)∑a2bc=(n+36)+(n+26)\sum{a^{2}bc}=\binom{n+3}{6 }+\binom{n+2}{6}

Pregunta

Definimos$S$como el conjunto de tripletes enteros positivos$(a,b,c)$tal que$a+b+c=n$. Quiero probar que la siguiente expresión es correcta:

$$\sum_{S}{a^{2}bc}=\binom{n+3}{6}+\binom{n+2}{6}$$

Mi solución

Lado izquierdo

Di que hay una línea de$n$pelotas. Coloreamos el primero$a$bolas rojas, la siguiente$b$bolas verdes y el resto azules. Luego elegimos dos bolas rojas al azar con reemplazo, elegimos una bola verde al azar y elegimos una bola azul al azar. El número de posibilidades está dado por$\sum_{S}{a^{2}bc}$

Lado derecho

Si se elige dos veces la misma bola roja;

$$\begin{align} x_{1}&\text{ red balls lie on the left of the chosen red ball}\\ x_{2}&\text{ red balls lie on the right of the chosen red ball}\\ x_{3}&\text{ green balls lie on the left of the chosen green ball}\\ x_{4}&\text{ green balls lie on the right of the chosen green ball}\\ x_{5}&\text{ blue balls lie on the left of the chosen blue ball}\\ x_{6}&\text{ blue balls lie on the right of the chosen blue ball} \end{align}$$

Desde$\sum_{i=1}^{6}{x_{i}=n-3}$, usando estrellas y barras obtenemos$\binom{n+2}{5}$posibilidades.

Si se eligen diferentes bolas rojas, el enfoque es el mismo, pero también debemos contar el número de bolas rojas entre las dos bolas rojas elegidas y multiplicarlas por dos porque cualquiera de las bolas rojas se puede elegir primero. esto nos da$2\binom{n+2}{6}$posibilidades.

Como conté las mismas posibilidades, entonces las expresiones deben ser iguales:

$$\begin{align} \sum_{S}{a^{2}bc}&=2\binom{n+2}{6}+\binom{n+2}{5}\\ \\ &=\binom{n+3}{6}+\binom{n+2}{6} \end{align}$$

Me gustaría saber si mi solución es correcta y si hay una solución alternativa o discusión.