Demuestra que para r,n∈Nr,n∈Nr,n \in \mathbb{N} con r≥nr≥nr \geq n, ∑n−1i=0(−1)i(ni)(r+n− i−1r)=(r−1n−1)∑i=0n−1(−1)i(ni)(r+n−i−1r)=(r−1n−1)\sum_{i=0} ^{n-1} (-1)^i \binom{n}{i} \binom{r+ni-1}{r} = \binom{r-1}{n-1}

Question

jiid

Muestra esa

\sum_{i = 0}^{norte - 1} (- 1)^{i} (\binom{norte}{i}) (\binom{r + norte - i - 1}{r}) = (\binom{r - 1}{norte - 1})

$\sum_{i=0}^{n-1} (-1)^i \binom{n}{i} \binom{r+n-i-1}{r} = \binom{r-1}{n-1}$ dónde

r, n \in N

$r,n \in \mathbb{N}$ con

r \geq n

$r \geq n$ .

¿Puedes editar tu publicación para mostrarnos lo que has estado intentando? De lo contrario, nadie resolverá tu ejercicio por ti ;)

Lea: math.stackexchange.com/help/how-to-ask ; Y: No hay indicación de si la pregunta debe responderse combinatoria o analíticamente.

Ver también: Demostrando

(\binom{n - 1}{r - 1}) = \sum_{k = 0}^{r} (- 1)^{k} (\binom{r}{k}) (\binom{n + r - k - 1}{r - k - 1})

$\binom {n-1}{r-1}=\sum_{k=0}^r(-1)^k\binom r k \binom{n+r-k-1}{r-k-1}$

¿Puedes editar tu publicación para mostrarnos lo que has estado intentando? De lo contrario, nadie resolverá tu ejercicio por ti ;)
Lea: math.stackexchange.com/help/how-to-ask ; Y: No hay indicación de si la pregunta debe responderse combinatoria o analíticamente.
Ver también: Demostrando $\binom {n-1}{r-1}=\sum_{k=0}^r(-1)^k\binom r k \binom{n+r-k-1}{r-k-1}$

calvin lin · Answer 1

Pista: ${ r+k-1 \choose r} = {r +k-1 \choose k-1}$ es el número de formas de distribuir $r$ cosas idénticas entre $k$ gente.

Pista: El $(-1)^n {n\choose i}$ recuerda mucho al Principio de Inclusión y Exclusión.

Pista: ¿ De cuántas maneras hay de distribuir $r$ cosas idénticas entre $k$ personas, de modo que [CONDICIÓN X] es igual a LHS y RHS?