Velocidad óptima para la separación de la primera etapa en un lanzador de dos etapas

Respuesta corta:

Puede acercarse bastante con la ecuación del cohete y optimizar para que un cohete de masa dada levante una carga útil máxima a una velocidad específica.

Respuesta larga:

Finalmente probé algunas matemáticas (aunque de una manera ligeramente diferente a la del enlace anterior).

Primero, hice el problema adimensional

• dividiendo todas las masas por la masa total del cohete sin la carga útil. La masa del cohete es entonces igual a uno.
• introduciendo un factor$\phi$que es igual a la masa total de la primera etapa dividida por la masa total del cohete.$\phi=0$significaría una etapa cero sin masa (bastante tonto) y$\phi=1$significaría una segunda etapa de masa cero (igualmente tonto).
  • Llamando a la fracción de masa seca de la primera etapa$e_1$y la fracción de masa seca de la segunda etapa$e_2$
• Suponiendo una masa$m_3$cuál es la carga útil, que viene en la parte superior
• Dividiendo todas las velocidades por la velocidad objetivo$v_t$(en este caso, necesario para llegar a LEO).
• Dividiendo las velocidades efectivas de escape,$I_{sp} g$, por la velocidad requerida, para obtener$v_{e,1} = I_{sp,1} g / v_t$como la velocidad adimensional efectiva para la primera etapa y$v_{e,2} = I_{sp,2} g / v_t$

Reemplazando esto en la ecuación del cohete da

$$\Delta v_1 = v_{e,1} \ln\left(\frac{1+m_3}{\phi * e_1 + 1 - \phi + m_3}\right)$$ $$\Delta v_2 = v_{e,2} \ln \left( \frac{1-\phi+m_3}{(1-\phi) e_2 + m_3} \right)$$ con $\Delta v = \Delta v_1 + \Delta v_2$. Conectando los parámetros y resolviendo la ecuación $$\Delta v_1 + \Delta v_2 = 1$$ (iterativamente) para $m_3$le dará la carga útil para una masa de cohete determinada, que debe maximizarse.

Así que conecté algunos valores para un Falcon 9:

$$v_t = 9.5 km/s$$ $$I_{sp,1} = 290s$$ $$v_{e,1}=0.305$$ $$v_{e,2}=0.358$$ $$I_{sp,2}=340 s$$ $$e_1=18 t/385 t = 0.0468$$ $$e_2= 4.9t/90t=0.0544$$

Después de variar$phi$y también calculando la velocidad de la segunda etapa, obtuve

    phi     m_3      delta v 2
    0.2    0.0160      0.895
    0.4    0.0241      0.858
    0.6    0.0308      0.753
    0.7    0.0331      0.683
    0.8    0.0339      0.592
    0.9    0.0313      0.456

Entonces, hay un óptimo relativamente amplio donde la primera etapa tiene alrededor del 80% de la masa del cohete total y la segunda etapa es responsable de alrededor del 60% del total.$\Delta v$.

Conecte esto a la suposición original de un$\Delta v$de unos 9,5 km/s, y se llega a los 6 km/s (aproximados) de la segunda etapa.

¿Por qué la primera etapa no se vuelve más rápida? Probablemente porque es el que tiene que luchar contra la gravedad y el arrastre. 180 s a 10 m/s ^ 2 podría costarte alrededor de 1,8 km/s si estuvieras disparando hacia arriba (lo que nadie está haciendo, lo sé ...)

Compare esto con la fracción de masa real de la primera etapa de un Falcon 9, que es de alrededor de 0,809... Probablemente salí un poco más cerca de lo que tenía derecho a esperar.