Paradoja del tiempo finito de la distancia infinita del agujero negro

Solo es infinito para una longitud de coordenadas infinitesimalmente corta, por lo que la integral es, por supuesto, finita:

$\int_{r_{\rm s}}^{r_{0}} \sqrt{|g_{rr}|} \, dr =\int_{r_{\rm s}}^{r_{0}} \frac{1}{\sqrt{1-\frac{r_{\rm s}}{r}}} \, dr = \sqrt{(r_{0}-r_{\rm s}) r_{0}}+\ln \left(r_{0}+\sqrt{(r_{0}-r_{\rm s}) r_{0}}-\frac{r_{\rm s}}{2}\right) = {\rm finite}$

Para el tenedor de libros estacionario esto es todavía más grande que$r_{0}-r_{\rm s}$, pero más pequeño que$\infty$.

Si está en caída libre con la velocidad de escape negativa, la expansión de la profundidad gravitacional también se cancela exactamente con la contracción de la longitud cinemática, ya que$v_{\rm esc}=c \sqrt{r_{\rm s}/r}$, por lo tanto$|g_{rr}|$en coordenadas de gotas de lluvia es$1$, y la distancia adecuada se convierte exactamente en la distancia de coordenadas.