¿La luz realmente viaja más lentamente cerca de un cuerpo masivo?

La forma sencilla de mostrar que la velocidad derivada de las coordenadas de Schwarzschild no tiene un significado absoluto es derivar una expresión para la velocidad medida por un observador diferente y demostrar que no están de acuerdo. En particular, elegiremos un observador de caparazón, es decir, un observador que se cierne en un punto fijo.$r$,$\theta$y$\phi$(presumiblemente usando alguna forma de motor de cohete). Una vez más consideraremos un rayo de luz radial.

Usaremos$t’$y$r’$para el tiempo y las coordenadas radiales en el marco de la carcasa, y$R$para la distancia radial del observador de la concha medida en las coordenadas de Schwarzschild.

En el marco de reposo del observador de capa consideramos el tiempo propio infinitesimal$dt’$. Comparando esto con la métrica de Schwarzschild, encontramos en la posición del observador de capa:

$$dt’^2 = (1 - r_s/R)dt^2$$

dándonos:

$$\frac{dt’}{dt} = \sqrt{1 – r_s/R} \tag{2}$$

Los ojos agudos entre ustedes se darán cuenta de que esta es solo la expresión bien conocida para la dilatación del tiempo gravitacional a distancia.$R$. Un argumento similar para la distancia propia infinitesimal$dr’$da:

$$\frac{dr’}{dr} = \frac{1}{\sqrt{1 – r_s/R}} \tag{3}$$

que es solo la ecuación correspondiente para la dilatación radial. Usando la ecuación (1) de la pregunta y las ecuaciones (2) y (3), ahora podemos calcular la velocidad de la luz en la posición del observador de la concha usando la regla de la cadena:

$$\begin{align} \frac{dr’}{dt’} &= \frac{dr}{dt} \frac{dr’}{dr} \frac{dt}{dt’} \\ &= \pm c \left(1 - \frac{r_s}{R}\right) \frac{1}{\sqrt{1 – r_s/R}} \frac{1}{\sqrt{1 – r_s/R}} \\ &= \pm c \end{align}$$

Y ahí está nuestro primer resultado. El observador de la concha mide la velocidad de la luz en su ubicación para ser$c$, y esto es independiente de$R$por lo que es cierto para todos los observadores de conchas.

Debo enfatizar que no he hecho suposiciones en este trabajo. Es álgebra pura y no deja lugar a subterfugios. Los dos observadores realmente encuentran resultados diferentes para la velocidad de la luz. Ninguno es correcto ni incorrecto: solo muestra que la velocidad coordinada de la luz depende del observador, no es una cantidad absoluta.

Pero podemos hacerlo mejor que esto. Podemos extender nuestro análisis para encontrar la velocidad de la luz en las coordenadas del caparazón a distancias radiales mayores y menores que la distancia del caparazón. El argumento es esencialmente el mismo que el anterior, así que daré el resultado:

$$\frac{dr’}{dt’} = \pm c \frac{1- r_s/r}{1 – r_s/R} \tag{4}$$

Y esto parece (por$R = 2r_s$):

Al igual que el observador de Schwarzschild, el observador de la concha ve que la velocidad coordinada de la luz cae cuando la luz está más cerca del objeto masivo que ellos, pero el observador de la concha ve que la luz se mueve más rápido que$c$cuando la luz está más lejos del objeto que ellos. Entonces, el caparazón y el observador de Schwarzschild no están de acuerdo en la velocidad de la luz en ninguna parte (excepto en el horizonte de eventos, si existe), pero ambos están de acuerdo en que la velocidad de la luz en su ubicación es$c$.

Y esto hace el punto. Los observadores de conchas no son una ficción teórica: tú y yo somos observadores de conchas en virtud de nuestra distancia constante desde el centro de la Tierra y la ecuación (4) da la velocidad de la luz que tú y yo observaríamos. El punto es que la velocidad coordinada de la luz depende del observador y no tiene un significado absoluto.