El equilibrio se alcanzará cuando el par neto en la armadura sea cero. Dado que, como veremos a continuación, será imposible que el par neto desaparezca durante un intervalo prolongado de tiempo, buscaremos la situación en la que el par promediado a lo largo del tiempo desaparezca.

La ley de fuerza de Lorentz nos dice que para un alambre de longitud vectorial$\vec{l}$llevando corriente$I$en un campo magnético uniforme$\vec{B}$, la fuerza$\vec{F}$es

De ello se deduce que la fuerza del par$\tau$en una armadura con$N$vueltas y área de la sección transversal$A$es dado por

dónde$\theta$es la dirección entre el vector normal de la sección transversal del inducido y el campo magnético. (La geometría en realidad es un poco más complicada de lo que podría imaginar al principio; recomiendo estudiar el diagrama que se encuentra en el panel inferior de esta página ).

Ahora queremos saber qué sucede si tomamos el promedio de tiempo del par durante algún intervalo de tiempo que abarque muchas revoluciones del motor.$N$,$A$, y$B$son todos constantes en este problema (aunque vea la discusión al final de esta respuesta sobre$B$), por lo que las únicas cantidades que pueden desaparecer en el promedio son$\langle I \rangle$y$\langle \sin \theta \rangle$.

Si este motor no posee conmutador , entonces el par cambiará de dirección cada medio ciclo y, posteriormente, será difícil que la armadura alcance una velocidad apreciable. Asumiré que el motor posee un conmutador que cambia la corriente cada medio ciclo. En este caso,$\langle \sin \theta \rangle \not = 0$y así debemos tener$\langle I \rangle = 0$en equilibrio.

Con el fin de lograr$\langle I \rangle = 0$, debe darse el caso de que$\langle \epsilon_\mathrm{net} \rangle = 0$dónde$\epsilon_\mathrm{net}$es la fem neta y contiene contribuciones de la diferencia de potencial de 24 voltios y la inducción magnética debida a la rotación de la armadura (pero vea la nota final al final de la respuesta para obtener más detalles). Como ya se ha señalado en el enunciado de la pregunta,

y luego tomando el promedio de tiempo, para lograr el equilibrio,

Estrictamente hablando,$\langle \sin \theta \frac{d\theta}{dt} \rangle \not= \langle \sin \theta \rangle \langle\frac{d\theta}{dt} \rangle$porque$\frac{d\theta}{dt}$variará con el tiempo de una manera correlacionada con$\sin \theta$(es importante recordar que en realidad estamos promediando a lo largo del tiempo, no directamente sobre$\theta$). Un límite inferior para$\frac{d\theta}{dt}$es entonces la respuesta dada en la parte posterior del libro. Una respuesta más correcta sería más grande que eso. En la aproximación que$\frac{d\theta}{dt}$es una constante en el tiempo (en realidad no es cierto, pero tal vez sea una buena aproximación), entonces la respuesta se multiplicaría por un factor de$\pi/2 \approx 1.57$.

En resumen, creo que la pregunta estaba mal construida y no deberías preocuparte, en este caso, por hacer coincidir exactamente la respuesta del libro.

Nota final sobre el campo magnético de autoinducción

Hay un campo magnético adicional generado por la corriente a través de los cables en la armadura. A medida que la corriente cambia con el tiempo, el flujo de este campo a través del inducido variará con el tiempo. En principio, este flujo cambiante adicional debería afectar tanto a la fem en el circuito como al par en la armadura.

Sin embargo, estos efectos serán insignificantes si el campo magnético generado por las bobinas es insignificante en comparación con el campo magnético de 0,33 Tesla que ya existe. Le insto a que calcule cuál es aproximadamente la corriente máxima que podría fluir a través de los cables antes de que se rompa la suposición de que el campo correspondiente es insignificante (lo verifiqué, y la corriente tendría que volverse bastante grande, pero aún así debería comprobarlo usted mismo) .

Sí, tiene usted razón.$\varepsilon$es una función de ambos$\omega$y$\sin\theta$. Pero en equilibrio$\omega$será constante por definición. Desde$\varepsilon$no puede volverse negativo, por lo que el valor mínimo que puede alcanzar es 0. Y eso sucede cuando$NAB\omega\sin\theta$se convierte$0$. Para hacer eso,$\sin\theta$se convierte$1$. Resolviendo para$\omega$obtenemos

Nota$\varepsilon$variará en función de$\theta$

Tal vez este enlace pueda ser útil. http://www.pa.msu.edu/courses/2000spring/phy232/lectures/induction/rotatingcoil.html

Según la ley de Kirchoff, la caída de tensión en el motor debido a la resistencia y la FEM tiene que ser igual a los 24 V aplicados.
$\epsilon = 0 = 24V - \epsilon_{ind}$La corriente es de hecho oscilatoria. Los motores de CC utilizan un conmutador para cambiar la dirección de la corriente después de cada 180 grados de rotación. Luego, las bobinas enrolladas en la armadura de un motor se escalonan 90 grados para que el$sin(\theta)$se convierte en el ángulo que se promedia sobre todas las envolturas. Entonces$sin(\theta) \rightarrow 2/\pi$. Esto acelera el motor. Pero usar eso haría que el motor funcionara más rápido que la respuesta del libro.