Prueba de que las ecuaciones de movimiento del hamiltoniano EM relativista son invariantes de calibre

Question

Prueba de que las ecuaciones de movimiento del hamiltoniano EM relativista son invariantes de calibre

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Considerando el hamiltoniano EM relativista

H (\vec{q}, \vec{pag}) = \sqrt{{metro}^{2} C^{4} + C^{2} (\vec{pag} - mi \vec{A})^{2}} + mi ϕ,

$H(\vec{q}, \vec{p}) = \sqrt{m^2c^4 + c^2(\vec{p} - e\vec{A})^2} + e\phi,$ ¿Hay alguna prueba de la invariancia de calibre de las ecuaciones de movimiento correspondientes? Si uso otro vector potencial

{\vec{A}}^{'} = \vec{A} + \nabla λ

$\vec{A}' = \vec{A} + \nabla \lambda$ No puedo ver de un vistazo que el EOM permanezca sin cambios.

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Prueba de que las ecuaciones de movimiento del hamiltoniano EM relativista son invariantes de calibre

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Si mide la transformación A y phi, tiene razón, la ecuación de movimiento no será inmediatamente invariante. Pero el punto es que puede hacer una transformación canónica y redefinir p y q para absorber la transformación de calibre y volver a hacer la ecuación de movimiento invariante nuevamente.

Esto recuerda inmediatamente a QED, donde una transformación de calibre de $A^{\mu}$ debe ir acompañado de una transformación de calibre del campo de dirac $\Psi$ para hacer invariante el calibre lagrangiano QED.

Es en este sentido, transformación de calibre + transformación canónica, que su hamiltoniano sigue siendo invariante de calibre.

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No estoy seguro de entender: supongamos que tengo el vector potencial

\vec{A}

$\vec{A}$ , obtengo la ecuación de Hamilton y las resuelvo numéricamente, obteniendo una trayectoria. Si ahora aplico una transformación de calibre y resuelvo nuevamente las ecuaciones de Hamilton resultantes, esperaría obtener la misma trayectoria (incluso si la ecuación de Hamilton es diferente) ya que la partícula se mueve en el mismo campo. ¿Es cierto y posible probarlo?

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Si aplicas la transformación canónica

\vec{R} = \vec{r}

$\vec R = \vec r$ ,

\vec{P} = \vec{p} + Q \nabla Λ (r, t)

$\vec P = \vec p + Q∇Λ(r, t)$ a su hamiltoniano, verá que la ecuación de movimientos describe una partícula que se mueve en los potenciales transformados de calibre A′ = A + c∇Λ(r, t), y φ′ = φ −

\frac{\partial Λ}{\partial t}

$\frac{\partial \Lambda}{\partial t}$ . Por lo tanto, si aplica una transformación de calibre a su hamiltoniano anterior, verá que las ecuaciones de movimiento describen una partícula cuyas coordenadas dinámicas son transformaciones canónicas de sus coordenadas originales.

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El efecto de una transformación de calibre es una transformación canónica, o el efecto de una transformación canónica es una transformación de calibre, de cualquier manera las ecuaciones de Hamilton son invariantes.

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¿Podemos resolver explícitamente la ecuación de Hamilton-Jacobi para una partícula en un campo magnético uniforme?

Invariancia de calibre lagrangiano L′=L+df(q,t)dtL′=L+df(q,t)dtL'=L+\frac{df(q,t)}{dt}

Velocidad de rotación de una bobina en un campo magnético uniforme en equilibrio

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