Velocidad angular relativa a diferentes marcos

En Goldstein se dice: "Es intuitivamente obvio que el ángulo de rotación del desplazamiento de un cuerpo rígido, como también el vector de velocidad angular instantánea, es independiente de la elección del origen del sistema de ejes del cuerpo".

Desafortunadamente, no es intuitivamente obvio para mí.

Ecuación relevante para calcular la tasa de cambio de tiempo de un vector entre un marco de referencia giratorio inercial y no inercial:

( d r d t ) s = ( d r d t ) r + ω × r

dónde s denota el marco fijo espacial y r denota el marco giratorio.

como puedo ω dadas como componentes vectoriales en un marco fijo en el espacio, describa completamente la rotación de un marco giratorio cuyos ejes están fijos en, digamos, un cuerpo rígido? Me parece que la elección del origen del eje fijo del cuerpo también debe incluirse y es crucial para determinar el movimiento posterior. El origen dicta por qué punto(s) pasa el eje de rotación. Si giro el cuerpo rígido sobre el punto de origen PAG 1 con momento angular ω 1 , el movimiento ciertamente será diferente a la rotación sobre el punto de origen PAG 2 también con ω 1 . Revisé la prueba de por qué el vector de velocidad angular es el mismo en cualquiera de los orígenes del cuerpo, pero aún sigo confundido. Casi lo único que puedo conciliar es que dado el mismo ω y dos orígenes de cuerpo diferentes, la orientación rotacional de un cuerpo rígido será la misma, pero el cuerpo se trasladará de manera muy diferente desde el origen del eje fijo en el espacio. Sin embargo, esto me lleva a pensar que complicaría la buena separación del movimiento de traslación y rotación que buscamos al resolver ecuaciones de movimiento.

Respuestas (1)

Ecuación relevante para calcular la tasa de cambio de tiempo de un vector entre un marco de referencia giratorio inercial y no inercial:

( d r d t ) s = ( d r d t ) r + ω × r

dónde s denota el marco fijo espacial y r denota el marco giratorio.

Esa es la ecuación relevante para el marco inercial de movimiento conjunto instantáneo. ¿Qué pasa con un marco espacial que no se mueve? Generalizando esto a un marco espacial en el que el origen del marco giratorio se está moviendo da como resultado

( d r d t ) s = ( d r 0 d t ) s + ( d ( r − r 0 ) d t ) r + ω × ( r − r 0 )

dónde r 0 es el vector de desplazamiento desde el origen del marco espacial hasta el origen del marco giratorio.

Supongamos que usa algún otro punto r 1 que se fija desde la perspectiva del marco de rotación (es decir, ( d ( r 1 − r 0 ) d t ) r ≡ 0 . Haz las matemáticas (un ejercicio que te dejaré a ti) y encontrarás que

( d r d t ) s = ( d r 1 d t ) s + ( d ( r − r 1 ) d t ) r + ω × ( r − r 1 )

En otras palabras, la velocidad angular ω es independiente de la elección del origen.

Al decir marco espacial en movimiento conjunto, quiere decir que el origen del marco espacial y el origen del marco giratorio coinciden en todo momento, ¿correcto?
@LoneWolf - No. ¿Qué pasa si el objeto en cuestión está acelerando? En cualquier momento, existe un marco de referencia inercial que se alinea instantáneamente con el marco del cuerpo, tiene el mismo origen que el del marco del cuerpo y en el que la velocidad instantánea del origen del marco del cuerpo es cero. Este es el marco inercial de movimiento conjunto instantáneo.
Si el objeto tenía aceleración de traslación y el eje del cuerpo estaba fijo en un solo punto dentro del objeto, parece que el marco de inercia que se mueve conjuntamente también debe moverse con la misma aceleración (los orígenes coinciden en todo momento) para que la velocidad instantánea de el marco del cuerpo sea cero en relación con el marco espacial inercial de movimiento conjunto. ¿Bien? ¿Cómo es que llamamos a un marco espacial de movimiento conjunto un marco "inercial" cuando claramente acelera en relación con un marco espacial inercial que no se mueve?
@Lone Wolf: " Si el objeto tenía aceleración de traslación y un eje del cuerpo estaba fijo en un solo punto dentro del objeto, parece que el marco de inercia en movimiento conjunto también debe moverse con la misma aceleración (los orígenes coinciden en todo momento)" - - Tal marco/sistema estaría (permanentemente) en movimiento conjunto, pero no necesariamente inercial . Sin embargo, en una región plana, es posible identificar una familia de sistemas inerciales de movimiento conjunto instantáneo , donde los miembros de cualquiera de esos sistemas determinan la velocidad cero del único punto material de aceleración " dentro del objeto " en un solo evento.
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