Vectores de polarizaciones de solución de campo de bosones vectoriales

Question

Vectores de polarizaciones de solución de campo de bosones vectoriales

bosones
Física
campos vectoriales
teoría cuántica de campos

Anónimo

Tengamos la solución para el bosón vectorial Lagrangiano en forma de campo de 4 vectores:

A_{m} (X) = \int \sum_{norte = 1}^{3} {mi}_{m}^{norte} (pag) (a_{norte} (pag) {mi}^{- i pag X} + b_{norte}^{+} (pag) {mi}^{i pag X}) \frac{d^{3} pag}{\sqrt{(2 π)^{3} 2 ϵ_{pag}}},

$A_{\mu } (x) = \int \sum_{n = 1}^{3} e^{n}_{\mu}(\mathbf p) \left( a_{n}(\mathbf {p})e^{-ipx} + b_{n}^{+} (\mathbf p )e^{ipx}\right)\frac{d^{3}\mathbf {p }}{\sqrt{(2 \pi )^{3}2 \epsilon_{\mathbf p}} },$

A_{m}^{+} (X) = \int \sum_{norte = 1}^{3} {mi}_{m}^{norte} (pag) (a_{norte}^{+} (pag) {mi}^{i pag X} + b_{norte} (pag) {mi}^{- i pag X}) \frac{d^{3} pag}{\sqrt{(2 π)^{3} 2 ϵ_{pag}}},

$A^{+}_{\mu } (x) = \int \sum_{n = 1}^{3}e^{n}_{\mu}(\mathbf p) \left( a^{+}_{n}(\mathbf {p})e^{ipx} + b_{n} (\mathbf p )e^{-ipx}\right)\frac{d^{3}\mathbf {p }}{\sqrt{(2 \pi )^{3}2 \epsilon_{\mathbf p}} },$ dónde

e_{μ}^{n}

$e^{n}_{\mu}$ son los componentes de 3 4-vectores, que se denominan vectores de polarización. Hay algunas propiedades de estos vectores:

{mi}_{m}^{norte} {mi}_{m}^{yo} = - d^{norte yo}, \partial^{m} {mi}_{m}^{norte} = 0, {mi}_{m}^{norte} {mi}_{v}^{norte} = - (d_{m v} - \frac{\partial_{m} \partial_{v}}{{metro}^{2}}) .

$e_{\mu}^{n}e_{\mu}^{l} = -\delta^{nl}, \quad \partial^{\mu}e^{n}_{\mu} = 0, \quad e_{\mu}^{n}e_{\nu}^{n} = -\left(\delta_{\mu \nu} - \frac{\partial_{\mu}\partial_{\nu}}{m^{2}}\right).$ Los dos primeros son obviamente, pero tengo la duda sobre el tercero. Es equivalente al operador de proyección transversal.

(\partial^{⊥})^{μ ν}

$(\partial^{\perp })^{\mu \nu}$ relativo a

\partial_{μ}

$\partial_{\mu}$ espacio. Entonces se da cuenta de la medida de Lorentz en forma de

\partial^{m} A_{m}^{⊥} = 0, A_{m}^{⊥} = (d_{m v} - \frac{\partial_{m} \partial_{v}}{{metro}^{2}}) A^{v},

$\partial^{\mu}A^{\perp}_{\mu} = 0, \quad A^{\perp}_{\mu} = \left(\delta_{\mu \nu} - \frac{\partial_{\mu}\partial_{\nu}}{m^{2}}\right)A^{\nu},$ que es necesario para disminuir el número de componentes

A_{μ}

$A_{\mu}$ como forma vectorial de representación

(\frac{1}{2}, \frac{1}{2})

$\left(\frac{1}{2}, \frac{1}{2} \right)$ del grupo de Lorentz por uno (según el número de componentes del campo spin-1).

No entiendo cómo interpretar esta propiedad. ¿Se puede interpretar como una matriz de producto escalar de 4 3 vectores? $e_{\mu}$ , lo que hace que uno de los componentes de $A_{\mu}$ dependiente de otros tres?

Motl de Luboš

Encuentro tu pregunta extremadamente confusa. ¿Sobre qué puedes estar preguntando? ¿Qué significa "interpretar esta propiedad" si "la propiedad" en realidad no es una propiedad sino una ecuación o una definición de un objeto? ¿Cómo se puede interpretar una ecuación sin productos escalares como una matriz de productos escalares? ¿O puede "qué" ser interpretado como eso? Además, las ecuaciones anteriores están destinadas a aislar completamente los 4 componentes del campo vectorial, tratarlos por separado y decidir sobre la base correcta cuáles de ellos son físicos y cuáles no. ¿Dónde está la dependencia en este tratamiento aislado?

usuario8817

@LubošMotl. La tercera "propiedad" es el resultado de las dos primeras. Pero quiero saber cómo sucedió que se vincula

e_{μ}^{n} e_{ν}^{n}

$e_{\mu}^{n}e_{\nu}^{n}$ (que se puede interpretar como el producto punto de 4 3 vectores, así que no entiendo por qué no ves el producto punto) con el operador de proyección transversal en el espacio de

\partial^{μ}

$\partial^{\mu}$ . Las ecuaciones para

A_{μ}, A_{μ}^{*}

$A_{\mu}, A^{*}_{\mu}$ son soluciones de la ecuación de Klein-Gordon para cada componente con condición transversal, por lo que podemos olvidarnos de la condición, porque la

e_{μ}^{n}

$e_{\mu}^{n}$ Los vectores determinados por las dos primeras propiedades promueven que la satisfagan de manera idéntica.

Respuestas (1)

Vectores de polarizaciones de solución de campo de bosones vectoriales

Encuentro tu pregunta extremadamente confusa. ¿Sobre qué puedes estar preguntando? ¿Qué significa "interpretar esta propiedad" si "la propiedad" en realidad no es una propiedad sino una ecuación o una definición de un objeto? ¿Cómo se puede interpretar una ecuación sin productos escalares como una matriz de productos escalares? ¿O puede "qué" ser interpretado como eso? Además, las ecuaciones anteriores están destinadas a aislar completamente los 4 componentes del campo vectorial, tratarlos por separado y decidir sobre la base correcta cuáles de ellos son físicos y cuáles no. ¿Dónde está la dependencia en este tratamiento aislado?
@LubošMotl. La tercera "propiedad" es el resultado de las dos primeras. Pero quiero saber cómo sucedió que se vincula $e_{\mu}^{n}e_{\nu}^{n}$ (que se puede interpretar como el producto punto de 4 3 vectores, así que no entiendo por qué no ves el producto punto) con el operador de proyección transversal en el espacio de $\partial^{\mu}$ . Las ecuaciones para $A_{\mu}, A^{*}_{\mu}$ son soluciones de la ecuación de Klein-Gordon para cada componente con condición transversal, por lo que podemos olvidarnos de la condición, porque la $e_{\mu}^{n}$ Los vectores determinados por las dos primeras propiedades promueven que la satisfagan de manera idéntica.

Trimok · Answer 1

En una suma de polarizaciones, como $\sum_\lambda~e_{\mu}^{\lambda}(k)~e_{\nu}^{\lambda}(k)$ , hay una diferencia fundamental si se consideran todas las polarizaciones o solo las polarizaciones físicas.

Si tomas todas las polarizaciones, la suma es igual a $g_{\mu\nu}$ , y es de hecho una normalización de la $e_{\mu}^{\lambda}(k)$ . Esta suma no es física.

\begin{matrix} (1) & \sum_{a yo yo pag o yo a r i z a t i o norte s λ} {mi}_{m}^{λ} (k) {mi}_{v}^{λ} (k) = - {gramo}_{m v} \end{matrix}

$\sum_{all ~polarizations~~ \lambda}~e_{\mu}^{\lambda}(k)~e_{\nu}^{\lambda}(k)=-g_{\mu\nu} \tag{1}$

Si considera solo las polarizaciones físicas, esta suma es física y obtendrá el polo del propagador, que también es una cantidad física:

\begin{matrix} (2) & \sum_{pag h y s i C a yo pag o yo a r i z a t i o norte s λ} {mi}_{m}^{λ} (k) {mi}_{v}^{λ} (k) = - ({gramo}_{m v} - \frac{k^{m} k^{v}}{{metro}^{2}}) \end{matrix}

$\sum_{physical ~polarizations~~ \lambda}~e_{\mu}^{\lambda}(k)~e_{\nu}^{\lambda}(k)=-(g_{\mu\nu} - \frac{k^\mu k^\nu}{m^2})\tag{2}$

El propagador aquí es:

\begin{matrix} (3) & D_{m v} (k) = \frac{- ({gramo}_{m v} - \frac{k^{m} k^{v}}{{metro}^{2}})}{k^{2} - {metro}^{2}} \end{matrix}

$D_{\mu\nu}(k) = \frac {-(g_{\mu\nu} - \frac{k^\mu k^\nu}{m^2})}{k^2-m^2} \tag{3}$

Gracias. Además, ¿está relacionado con mi explicación? Y si no, ¿mi explicación es correcta en absoluto?
Me temo que nadie entiende su explicación, @PhysiXxx, por lo que obtener la sabiduría habitual sobre estos vectores de polarización es lo máximo que puede esperar.
@PhysiXxx: Es cierto que su pregunta no está del todo clara. Traté de presentar el punto físico importante lo más claro posible. Por supuesto, tienes que matar un grado de libertad no física. Y puedes ver directamente que esto está representado en la expresión del propagador físico, que está directamente relacionado con la suma de las polarizaciones físicas. Puedes verificar que la ecuación $(2)$ es compatible, en shell (así que con $k^2=m^2$ ), con $k^\mu e_{\mu}^{\lambda}(k)=0$

Vectores de polarizaciones de solución de campo de bosones vectoriales

Anónimo

Motl de Luboš

usuario8817

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Trimok

usuario8817

Motl de Luboš

Trimok

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