¿De dónde viene este vector de polarización?

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¿De dónde viene este vector de polarización?

bosones
Física
polarización
campos vectoriales
teoría cuántica de campos
teoría clásica del campo

Oro

Cuando trata con campos vectoriales en su libro QFT, Schwartz escribe el campo clásico en términos de una base que no sé cómo obtiene.

Primero presenta el Proca Lagrangiano

L = - \frac{1}{4} F_{m v} F^{m v} + \frac{1}{2} {metro}^{2} A_{m} A^{m} .

$\mathcal{L}=-\dfrac{1}{4}F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}+\dfrac{1}{2}m^2A_\mu A^\mu.$

Las ecuaciones de movimiento son entonces $(\Box + m^2)A_\mu = 0$ y $\partial^\mu A_\mu = 0$ .

Luego dice:

Busquemos ahora soluciones explícitas a las ecuaciones de movimiento. Empezamos por Fourier transformando nuestros campos clásicos. Desde $(\Box+m^2)A_\mu=0$ , podemos escribir cualquier solución como

$A_{m} (X) = \sum_{i} \int \frac{d^{3} pag}{(2 π)^{3}} {\tilde{a}}_{i} (pag) ϵ_{m}^{i} (pag) {mi}^{i pag X}, {pag}_{0} = ω_{pag} = \sqrt{| pag |^{2} + {metro}^{2}}$ $A_\mu(x)=\sum_i \int \dfrac{d^3 p}{(2\pi)^3}\tilde{a}_i(p)\epsilon^i_\mu(p) e^{ipx}, \quad p_0=\omega_p=\sqrt{|\mathbf{p}|^2+m^2}$

Vectores de for some base $\epsilon^i_\mu(p)$ . Por ejemplo, podríamos tomar trivialmente $i=1,2,3,4$ y usa cuatro vectores $\epsilon^i_\mu(p)=\delta^i_\mu$ en esta descomposición. En su lugar, queremos una base que obligue $A_\mu$ para satisfacer automáticamente también su ecuación de movimiento $\partial^\mu A_\mu=0$ . Esto sucederá si $p^\mu \epsilon_\mu^i(p) =0$ . Para cualquier fijo $4$ -impulso $p^\mu$ con $p^2=m^2$ , hay tres soluciones independientes para esta ecuación dadas por tres $4$ -vectores $\epsilon_\mu^i(p)$ , necesariamente $p^\mu$ dependientes, que llamamos vectores de polarización. Por lo tanto, solo tenemos que sumar $i=1,2,3$ . Convencionalmente normalizamos las polarizaciones por $\epsilon_\mu^\ast \epsilon^\mu =-1$ .

No entiendo esto en absoluto. Tomando la transformada de Fourier de $\Box A_\mu + m^2 A_\mu = 0$ y denotando $\hat{A}_\mu$ la transformada de Fourier tenemos

A_{m} (X) = \int \frac{d^{3} pag}{(2 π)^{3}} (a_{m} (pag) {mi}^{- i pag X} + a_{m}^{*} (pag) {mi}^{i pag X}) .

$A_\mu(x)=\int \dfrac{d^3 p}{(2\pi)^3} (a_\mu(p) e^{-ipx}+a_\mu^\ast(p)e^{ipx}).$

Esto se hace tomando la transformada tridimensional de Fourier, obteniendo la ecuación $\partial_t^2\hat{A}+\omega_p^2 \hat{A}=0$ , dándose cuenta de que $\hat{A}_\mu= a_\mu(p) e^{-i\omega_p t}+b_\mu(p) e^{i\omega_p t}$ y finalmente usando la condición de que $A_\mu$ es real para que $b_\mu(p)=a_\mu^\ast(-p)$ lo que lleva directamente a la fórmula anterior.

No hay $\epsilon^i_\mu(p)$ en cualquier lugar. Tampoco puedo ver por qué debería haberlo. La suma tiene sólo dos términos de todos modos.

Así que realmente me estoy perdiendo algo aquí. ¿Cómo se deriva correctamente este resultado?

ismasou

Tu solución es la solución trivial de la que hablan donde

ϵ = δ

$\epsilon = \delta$ , deberías pensar en

ϵ

$\epsilon$ como base de coordenadas, por lo que nos dice en qué dirección oscila el campo (polarización) y debido a la segunda ecuación de movimiento, obtenemos que la dirección de polarización debe ser ortogonal a la del momento, por lo que podemos olvidarnos de uno dirección en nuestros cálculos (la dirección del impulso), por eso es mejor escribir el campo en términos de estos vectores de base (polarización).

ismasou

Si fuera física clásica, escribirás el campo en términos de

e_{x} e_{y} e_{z}

$e_x e_y e_z$ .

Respuestas (1)

¿De dónde viene este vector de polarización?

Tu solución es la solución trivial de la que hablan donde $\epsilon = \delta$ , deberías pensar en $\epsilon$ como base de coordenadas, por lo que nos dice en qué dirección oscila el campo (polarización) y debido a la segunda ecuación de movimiento, obtenemos que la dirección de polarización debe ser ortogonal a la del momento, por lo que podemos olvidarnos de uno dirección en nuestros cálculos (la dirección del impulso), por eso es mejor escribir el campo en términos de estos vectores de base (polarización).
Si fuera física clásica, escribirás el campo en términos de $e_x e_y e_z$ .

AccidentalFourierTransformar · Answer 1

Ya casi estás ahí. Dado

A_{m} (X) = \int \frac{d^{3} pag}{(2 π)^{3}} (a_{m} (pag) {mi}^{- i pag X} + a_{m}^{†} (pag) {mi}^{i pag X}) .

$A_\mu(x)=\int \dfrac{d^3 p}{(2\pi)^3} (a_\mu(p) e^{-ipx}+a_\mu^\dagger(p)e^{ipx}).$ puede elegir cualquier conjunto de cuatro vectores linealmente independientes

{ϵ_{μ}^{1}, ϵ_{μ}^{2}, ϵ_{μ}^{3}, ϵ_{μ}^{4}}

$\{\epsilon_\mu^1,\epsilon_\mu^2,\epsilon_\mu^3,\epsilon_\mu^4\}$ y expandir el

a_{μ}

$a_\mu$ en términos de ellos:

a_{m} = \sum_{i = 1}^{4} a_{i} ϵ_{m}^{i}

$a_\mu=\sum_{i=1}^4a_i \epsilon_\mu^i$ para algunos coeficientes

a_{i}

$a_i$ . La "base trivial" mencionada por S. es

ϵ_{μ}^{i} \equiv δ_{μ}^{i}

$\epsilon^i_\mu\equiv\delta^i_\mu$ , en cuyo caso esta expresión se convierte en

a_{m} = \sum_{i = 1}^{4} a_{i} d_{m}^{i} = a_{m}

$a_\mu=\sum_{i=1}^4a_i \delta_\mu^i=a_\mu$ es decir, los coeficientes

a_{i}

$a_i$ son solo los componentes cartesianos de

a_{μ}

$a_\mu$ . En principio, esta es una base válida, pero podemos hacerlo mejor. Por un lado, en esta base la condición de transversalidad

p \cdot a = 0

$p\cdot a=0$ no es inmediato de implementar.

Si elegimos una base que cambia con $p$ , tal que

pag \cdot ϵ^{1} = pag \cdot ϵ^{2} = pag \cdot ϵ^{3} = 0, ϵ^{4} = pag / metro

$p\cdot\epsilon^1=p\cdot\epsilon^2=p\cdot\epsilon^3=0,\qquad \epsilon^4=p/m$ entonces podemos escribir, como antes,

a_{m} = \sum_{i = 1}^{4} a_{i} ϵ_{m}^{i}

$a_\mu=\sum_{i=1}^4a_i \epsilon_\mu^i$ pero ahora la condición

p \cdot a

$p\cdot a$ es equivalente a

a_{4} = 0

$a_4=0$ , de modo que en efecto

a_{m} = \sum_{i = 1}^{3} a_{i} ϵ_{m}^{i}

$a_\mu=\sum_{i=1}^3a_i \epsilon_\mu^i$

Con este,

A_{m} (X) = \sum_{i = 1}^{3} \int \frac{d^{3} pag}{(2 π)^{3}} (a_{i} ϵ_{m}^{i} {mi}^{- i pag X} + a_{i}^{†} ϵ_{m}^{i *} {mi}^{i pag X}) .

$A_\mu(x)=\sum_{i=1}^3\int \dfrac{d^3 p}{(2\pi)^3} (a_i \epsilon_\mu^i e^{-ipx}+a^\dagger_i \epsilon_\mu^{i*} e^{ipx}).$ que es la expresión final para un campo de Proca libre.

Creo que entiendo el punto. El campo $A$ es un campo covector, por lo que $A(x)= A_\mu(x) dx^\mu$ . Cuando transformamos Fourier obtenemos otro campo covector $a_\mu(p) dp^\mu$ . De este modo $a_\mu$ se expresa en la base canónica, pero podemos cambiar a otra base $\epsilon^i(p)$ , con $\epsilon^i(p) = \epsilon^i_\mu(p) dp^\mu$ . Por lo tanto, podemos averiguar que $a_\mu(p) = \tilde{a}_i(p) \epsilon^i_\mu(p)$ . ¿Por qué haríamos esto? ¿Es elegir una base que ya impone la condición a la $A_\mu$ campo que queremos, a saber $\partial^\mu A_\mu = 0$ ? Entonces, ¿terminamos restringiendo a un subespacio?
@ user1620696 sí, eso es exactamente lo que está pasando. La nueva base es conveniente porque hace que la condición de transversalidad $\partial\cdot A=0$ trivial de implementar. En la base antigua tendrías que llevar la condición $p\cdot a=0$ a lo largo de todos sus cálculos.

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Oro

ismasou

ismasou

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Oro

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