Frecuencia imaginaria en hamiltoniano bosónico

Question

Frecuencia imaginaria en hamiltoniano bosónico

Perro de aguas de PC

Estoy haciendo algunos cálculos para mi tesis que involucran un hamiltoniano bosónico de la forma:

H = \sum_{\vec{k}} α a_{\vec{k}}^{+} a_{- \vec{k}}^{+} + β a_{\vec{k}}^{+} a_{\vec{k}}^{-} + γ a_{\vec{k}}^{-} a_{\vec{k}}^{+} + d a_{\vec{k}}^{-} a_{- \vec{k}}^{-}

$\begin{equation} H=\sum_{\vec{k}}\alpha\ a^{+}_{\vec{k}}a^{+}_{-\vec{k}} + \beta\ a^{+}_{\vec{k}}a^{-}_{\vec{k}} +\gamma\ a^{-}_{\vec{k}}a^{+}_{\vec{k}} + \delta\ a^{-}_{\vec{k}}a^{-}_{-\vec{k}} \end{equation}$

dónde $a^{\pm}$ son operadores de creación y aniquilación y las letras griegas son solo coeficientes reales que pueden ser funciones de $\vec{k}$ . Este hamiltoniano es hermitiano sólo si $\alpha=\delta$ . Después de diagonalizar esto usando una transformación de Bogoliuvov

\begin{aligned} b_{\vec{k}}^{\pm} = aporrear (ϕ) a_{\vec{k}}^{\pm} - pecado (ϕ) a_{- \vec{k}}^{\mp} \end{aligned}

$\begin{align*} b^{\pm}_{\vec{k}} = \cosh(\phi)\ a^{\pm}_{\vec{k}}-\sinh(\phi)\ a^{\mp}_{-\vec{k}} \end{align*}$

Se obtiene el resultado habitual

H = {mi}_{0} + \sum_{\vec{k}} ω (\vec{k}) b_{\vec{k}}^{+} b_{\vec{k}}^{-} = {mi}_{0} + \sum_{\vec{k}} ω (\vec{k}) {\hat{norte}}_{\vec{k}}

$\begin{equation} H=E_0+\sum_{\vec{k}}\omega(\vec{k})b^+_{{\vec{k}}}b^-_{\vec{k}}=E_0+ \sum_{\vec{k}}\omega(\vec{k})\ \hat{n}_{\vec{k}} \end{equation}$

Dónde $E_0$ es una constante que no importa en absoluto y $\omega(\vec{k})$ es

ω (\vec{k}) = (β + γ) \sqrt{1 - {(\frac{2 α}{β + γ})}^{2}}

$\begin{equation} \omega(\vec{k})=(\beta+\gamma)\sqrt{1-\left(\frac{2\alpha}{\beta +\gamma}\right)^2} \end{equation}$

Es bastante obvio que cuando $\frac{\beta+\gamma}{2}<\alpha$ la frecuencia se vuelve imaginaria. Esta condición, de vuelta en el hamiltoniano, significa que los términos no diagonales pesan más que los diagonales. Esto se debe a que la condición para el ángulo $\phi$ diagonalizar $H$ es $\tanh (2\phi) = \frac{2 \alpha}{\beta + \gamma}$ . Esto significa que cuando $2\alpha>\beta + \gamma$ no podemos realizar la transformación de Bogoliubov (es por eso que la frecuencia era imaginaria). Así que la pregunta sigue siendo:

¿Cómo puedo diagnosticar? $H$ cuando $2\alpha>\beta + \gamma$ ?

KF Gauss

Creo que vale la pena mencionar que si

α

$\alpha$ es infinitamente grande, entonces su hamiltoniano no es hermitiano y obtendrá valores propios imaginarios debido a eso.

AlQuemista

por favor aclare la afirmación: “El hamiltoniano solo se puede diagonalizar si

α = δ

$\alpha = \delta$ porque tiene que conservar el número de partículas”. Creo que la diagonalización del hamiltoniano siempre es posible, incluso cuando

α \neq δ

$\alpha \neq \delta$ .

AlQuemista

¿Podría proporcionar el hamiltoniano original en el que realizó la transformación de Holstein-Primakoff? Agregue algunos pasos importantes que conduzcan al hamiltoniano actual en su publicación. ¿Podría por favor también dar el valor de

E_{0}

$E_0$ ?

AlQuemista

Otro punto es que el hamiltoniano en su publicación generalmente no conserva partículas debido a la presencia de

a_{k}^{+} a_{- k}^{+}

$a^{+}_k \, a^{+}_{-k}$ y

a_{k}^{-} a_{- k}^{-}

$a^{-}_k \, a^{-}_{-k}$ términos. En otras palabras, cuando cualquiera

α \neq 0

$\alpha \neq 0$ o

δ \neq 0

$\delta \neq 0$ , el

a

$a$ -operador de número de partículas

{\hat{n}}_{q}^{a} = a_{q}^{+} a_{q}^{-}

$\hat{n}_q^a = a_q^+ a_q^-$ no conmuta con tu hamiltoniano, afais. Has mirado el conmutador

[{\hat{n}}_{q}^{a}, H]

$[ \hat{n}_q^a , H ]$ ?

AlQuemista

Podría haber una forma de interpretar los valores propios imaginarios, pero se necesitan más detalles de la derivación, desde el primer hamiltoniano de espín hasta el actual.

AccidentalFourierTransformar

re. la edición:

\tanh \to \tan

$\tanh\to\tan$ ?

Perro de aguas de PC

la condición para la diagonalización en la transformación de Bogoliubov es tanh(2\phi)= 2\alpha / (\beta + \gamma).

Valter Moretti

No entiendo tu fórmula. Si insertas la expresión de

b

$b$ en tu tercera fórmula solo encuentras las condiciones

β = ω (k) \cosh^{2} ϕ

$\beta = \omega(k) \cosh^2 \phi$ y

γ = ω (k) \sinh^{2} ϕ

$\gamma = \omega(k) \sinh^2 \phi$ y

ω (k) \cosh ϕ \sinh ϕ = - α = - δ

$\omega(k) \cosh \phi \sinh\phi = -\alpha = -\delta$ . Desde

\cosh^{2} ϕ - \sinh^{2} ϕ = 1

$\cosh^2 \phi - \sinh^2 \phi =1$ , las dos primeras condiciones producen

ω (k) = β - γ

$\omega(k)= \beta -\gamma$ .

Valter Moretti

A continuación, la condición adicional produce

\sinh 2 ϕ = - \frac{α}{2 (β - γ)}

$\sinh 2\phi = -\frac{\alpha}{2(\beta-\gamma)}$ que siempre tiene solución para

β \neq γ

$\beta \neq \gamma$ . La única restricción parece ser

β \geq γ

$\beta \geq \gamma$ de lo contrario

ω (k) < 0

$\omega(k) <0$ . (Supuse también

ω (k) = ω (- k)

$\omega(k)= \omega(-k)$ .)

Valter Moretti

tal vez son

a_{k}

$a_k$ y

a_{- k}

$a_{-k}$ definido para

k

$k$ que van en el mismo conjunto? Entonces son dos tipos diferentes de operadores de escalera (?)

higgsss

@ValterMoretti Creo que cometiste un error en alguna parte. uno debe obtener

β + γ = ω (\vec{k}) (\cosh^{2} ϕ + \sinh^{2} ϕ) = ω (\vec{k}) \cosh 2 ϕ

$\beta + \gamma =\omega(\vec{k}) (\cosh^2 \phi + \sinh^2\phi) = \omega(\vec{k})\cosh 2\phi$ y

α = δ = - ω (\vec{k}) \cosh ϕ \sinh ϕ = - ω (\vec{k}) \sinh 2 ϕ / 2

$\alpha = \delta = -\omega(\vec{k})\cosh\phi\sinh\phi = -\omega(\vec{k})\sinh 2\phi / 2$ . Puede ser que haya un error de signo en la tercera ecuación de OP, pero de lo contrario (así como el espectro resultante) se ve bien.

Valter Moretti

b_{k}^{+} b_{k}^{-} = (c a_{k}^{+} - s a_{- k}^{-}) (c a_{k}^{-} - s a_{- k}^{+}) = c^{2} a_{k}^{+} a_{k}^{-} + s^{2} a_{- k}^{-} a_{- k}^{+} - s c (a_{- k}^{-} a_{k}^{-} + a_{k}^{+} a_{- k}^{+})

$b_k^+b_k^- = (c a_k^+- s a_{-k}^-)(c a_k^-- s a_{-k}^+) = c^2a_k^+a_k^- + s^2a_{-k}^-a_{-k}^+ -sc( a_{-k}^-a_k^-+ a_k^+ a_{-k}^+)$

Valter Moretti

@higgsss Entonces, comparando con la expresión inicial del hamiltoniano,

β = ω (k) \cosh^{2} ϕ

$\beta= \omega(k) \cosh^2\phi$ , y si $\omega(k)=\omega(-k)$ , también

γ = ω (k) \sinh^{2} ϕ

$\gamma = \omega(k)\sinh^2\phi$ . Entonces

β / ω - γ / ω = 1

$\beta/\omega - \gamma/\omega = 1$ . ¿Dónde está mi error? Tal vez

ω (k) \neq ω (- k)

$\omega(k) \neq\omega(-k)$ ?

Valter Moretti

Ahora veo, de hecho se supone que

ω (k) = ω (- k)

$\omega(k)=\omega(-k)$ , ¡El problema es que no usé relaciones de conmutación!

s^{2} a_{k}^{-} a_{k}^{+} = s^{2} a_{k}^{+} a_{k}^{-} + s^{2}

$s^2a^-_ka^+_k = s^2a^+_ka^-_k + s^2$ ...así que reuniendo todos los términos idénticos encuentro ambos

E_{0}

$E_0$ y la relación que señalaste.

Respuestas (1)

Frecuencia imaginaria en hamiltoniano bosónico

Creo que vale la pena mencionar que si $\alpha$ es infinitamente grande, entonces su hamiltoniano no es hermitiano y obtendrá valores propios imaginarios debido a eso.
por favor aclare la afirmación: “El hamiltoniano solo se puede diagonalizar si $\alpha = \delta$ porque tiene que conservar el número de partículas”. Creo que la diagonalización del hamiltoniano siempre es posible, incluso cuando $\alpha \neq \delta$ .
¿Podría proporcionar el hamiltoniano original en el que realizó la transformación de Holstein-Primakoff? Agregue algunos pasos importantes que conduzcan al hamiltoniano actual en su publicación. ¿Podría por favor también dar el valor de $E_0$ ?
Otro punto es que el hamiltoniano en su publicación generalmente no conserva partículas debido a la presencia de $a^{+}_k \, a^{+}_{-k}$ y $a^{-}_k \, a^{-}_{-k}$ términos. En otras palabras, cuando cualquiera $\alpha \neq 0$ o $\delta \neq 0$ , el $a$ -operador de número de partículas $\hat{n}_q^a = a_q^+ a_q^-$ no conmuta con tu hamiltoniano, afais. Has mirado el conmutador $[ \hat{n}_q^a , H ]$ ?
Podría haber una forma de interpretar los valores propios imaginarios, pero se necesitan más detalles de la derivación, desde el primer hamiltoniano de espín hasta el actual.
la condición para la diagonalización en la transformación de Bogoliubov es tanh(2\phi)= 2\alpha / (\beta + \gamma).
No entiendo tu fórmula. Si insertas la expresión de $b$ en tu tercera fórmula solo encuentras las condiciones $\beta = \omega(k) \cosh^2 \phi$ y $\gamma = \omega(k) \sinh^2 \phi$ y $\omega(k) \cosh \phi \sinh\phi = -\alpha = -\delta$ . Desde $\cosh^2 \phi - \sinh^2 \phi =1$ , las dos primeras condiciones producen $\omega(k)= \beta -\gamma$ .
A continuación, la condición adicional produce $\sinh 2\phi = -\frac{\alpha}{2(\beta-\gamma)}$ que siempre tiene solución para $\beta \neq \gamma$ . La única restricción parece ser $\beta \geq \gamma$ de lo contrario $\omega(k) <0$ . (Supuse también $\omega(k)= \omega(-k)$ .)
tal vez son $a_k$ y $a_{-k}$ definido para $k$ que van en el mismo conjunto? Entonces son dos tipos diferentes de operadores de escalera (?)
@ValterMoretti Creo que cometiste un error en alguna parte. uno debe obtener $\beta + \gamma =\omega(\vec{k}) (\cosh^2 \phi + \sinh^2\phi) = \omega(\vec{k})\cosh 2\phi$ y $\alpha = \delta = -\omega(\vec{k})\cosh\phi\sinh\phi = -\omega(\vec{k})\sinh 2\phi / 2$ . Puede ser que haya un error de signo en la tercera ecuación de OP, pero de lo contrario (así como el espectro resultante) se ve bien.
$b_k^+b_k^- = (c a_k^+- s a_{-k}^-)(c a_k^-- s a_{-k}^+) = c^2a_k^+a_k^- + s^2a_{-k}^-a_{-k}^+ -sc( a_{-k}^-a_k^-+ a_k^+ a_{-k}^+)$
@higgsss Entonces, comparando con la expresión inicial del hamiltoniano, $\beta= \omega(k) \cosh^2\phi$ , y si $\omega(k)=\omega(-k)$ , también $\gamma = \omega(k)\sinh^2\phi$ . Entonces $\beta/\omega - \gamma/\omega = 1$ . ¿Dónde está mi error? Tal vez $\omega(k) \neq\omega(-k)$ ?
Ahora veo, de hecho se supone que $\omega(k)=\omega(-k)$ , ¡El problema es que no usé relaciones de conmutación! $s^2a^-_ka^+_k = s^2a^+_ka^-_k + s^2$ ...así que reuniendo todos los términos idénticos encuentro ambos $E_0$ y la relación que señalaste.

higgsss · Answer 1

La diagonalización no es significativa si $2\alpha > \beta + \gamma$ porque el hamiltoniano se vuelve no físico (ilimitado a continuación) en este caso.

Para ver esto, consideremos un hamiltoniano más simple:

H = 2 A a^{+} a^{-} + B (a^{+} a^{+} + a^{-} a^{-}),

$\begin{equation} H = 2A\, a^+ a^- + B\, (a^+ a^+ + a^- a^-), \end{equation}$ donde la relación de conmutación canónica

[a^{-}, a^{+}] = 1

$[a^-, a^+] = 1$ sostiene A continuación, construyamos los operadores de "posición" y "momento" como

X = \frac{a^{+} - a^{-}}{\sqrt{2}}, pag = \frac{i (a^{+} - a^{-})}{\sqrt{2}} .

$\begin{equation} x = \frac{a^+ - a^-}{\sqrt{2}},\quad p = \frac{i(a^+ - a^-)}{\sqrt{2}}. \end{equation}$ (Tenga en cuenta que

[x, p] = i

$[x,p] = i$ se satisface.) Al invertir las relaciones anteriores se obtiene

a^{\mp} = \frac{1}{\sqrt{2}} (X \pm i pag) .

$\begin{equation} a^\mp = \frac{1}{\sqrt{2}} (x \pm ip). \end{equation}$

Entonces, el hamiltoniano se puede escribir como

\begin{aligned} H & = A (X^{2} + {pag}^{2} - 1) + B (X^{2} - {pag}^{2}) \\ = (A + B) X^{2} + (A - B) {pag}^{2} - A . \end{aligned}

$\begin{equation} \begin{split} H &= A\, (x^2 + p^2 - 1) + B\,(x^2 - p^2)\\ &=(A+B)\,x^2 + (A-B)\,p^2 - A. \end{split} \end{equation}$ uno debería tener

A \geq 0

$A \ge 0$ y

- A \leq B \leq A

$-A \le B \le A$ para que el hamiltoniano anterior esté acotado por debajo.

Para realizar el mismo análisis en el OP hamiltoniano particular considerado, definamos un nuevo conjunto de operadores de escalera $c_{\vec{k}}^\pm$ y $d_{\vec{k}}^\pm$ como sigue:

\begin{aligned} a_{\vec{k}}^{\pm} = \frac{1}{\sqrt{2}} (C_{\vec{k}}^{\pm} + d_{\vec{k}}^{\pm}), \\ a_{- \vec{k}}^{\pm} = \frac{1}{\sqrt{2}} (C_{\vec{k}}^{\pm} - d_{\vec{k}}^{\pm}) . \end{aligned}

$\begin{equation} \begin{split} &a_{\vec{k}}^\pm = \frac{1}{\sqrt{2}} (c_{\vec{k}}^\pm + d_{\vec{k}}^\pm),\\ &a_{-\vec{k}}^\pm = \frac{1}{\sqrt{2}} (c_{\vec{k}}^\pm - d_{\vec{k}}^\pm). \end{split} \end{equation}$ Entonces, el hamiltoniano de OP se puede representar como una suma sobre pares desordenados

{\vec{k}, - \vec{k}}

$\{\vec{k},-\vec{k}\}$ de los siguientes:

\begin{aligned} H_{\vec{k}} & = α C_{\vec{k}}^{+} C_{\vec{k}}^{+} + β C_{\vec{k}}^{+} C_{\vec{k}}^{-} + γ C_{\vec{k}}^{-} C_{\vec{k}}^{+} + d C_{\vec{k}}^{-} C_{\vec{k}}^{-} + (C \to d), \\ = α (C_{\vec{k}}^{+} C_{\vec{k}}^{+} + C_{\vec{k}}^{-} C_{\vec{k}}^{-}) + (β + γ) C_{\vec{k}}^{+} C_{\vec{k}}^{-} + (C \to d) + 2 γ \end{aligned}

$\begin{equation} \begin{split} H_{\vec{k}} &= \alpha\, c_{\vec{k}}^+c_{\vec{k}}^+ + \beta\, c_{\vec{k}}^+c_{\vec{k}}^- + \gamma\, c_{\vec{k}}^-c_{\vec{k}}^+ + \delta\, c_{\vec{k}}^-c_{\vec{k}}^- + (c \rightarrow d),\\ &= \alpha\, (c_{\vec{k}}^+c_{\vec{k}}^+ + c_{\vec{k}}^-c_{\vec{k}}^-) + (\beta+\gamma)\, c_{\vec{k}}^+c_{\vec{k}}^- + (c \rightarrow d) + 2\gamma \end{split} \end{equation}$ dónde

(c \to d)

$(c\rightarrow d)$ denota los términos obtenidos reemplazando

c_{\vec{k}}^{\pm}

$c_{\vec{k}}^\pm$ por

d_{\vec{k}}^{\pm}

$d_{\vec{k}}^\pm$ . identificando

α = B

$\alpha = B$ y

β + γ = 2 A

$\beta + \gamma = 2A$ , se puede ver que el hamiltoniano se vuelve ilimitado por debajo si

2 α > β + γ

$2\alpha > \beta + \gamma$ .

Supongo que la derivación del OP a través de Holstein-Primakoff trafo. en un hamiltoniano ferromagnético (no incluido) tiene algunos defectos. La aproximación ha sido tan drástica que el hamiltoniano ya no es hermitiano para algunos valores de $\alpha$ y $\gamma$ . Esto es ciertamente problemático y conduce a resultados no físicos.
No entiendo bien tus condiciones: Como distingues entre $\vec{k}$ y $-\vec{k}$ ? De lo contrario, la doble definición de $a^\pm_{\vec{k}}$ No tiene sentido.
Quizás entiendo, estás suponiendo que debes separar el conjunto de vectores $\vec{k}$ en dos partes. De hecho, entonces supones que hay dos nociones de operadores de escalera $c$ y $d$ , mientras que inicialmente solo tenías un tipo de ellos $a$ . Sin embargo, al leer la pregunta original, no me parece que el OP use la misma convención (aunque tendría sentido ya que ambos obtienen condiciones similares).
¡Gran respuesta! Estoy a punto de darte la recompensa. Aunque todavía tengo una pregunta. Aunque este hamiltoniano no está acotado por debajo, sigue siendo hermético, por lo que debería tener una forma diagonal, ¿no es así? Realmente agradecería cualquier comentario sobre este tema. ¡Gracias! (Solo pregunto si no sabes la respuesta, obviamente aún te daría la recompensa)
@ValterMoretti acabo de definir $c_{\vec{k}}^{\pm}$ y $d_{\vec{k}}^{\pm}$ como combinaciones lineales de $a_{\vec{k}}^{\pm}$ y $a_{-\vec{k}}^{\pm}$ Entonces, a excepción de $\vec{k} = 0$ , hay redundancia porque $c_{\vec{k}}^{\pm} = c_{-\vec{k}}^{\pm}$ y $d_{\vec{k}}^{\pm}= -d_{-\vec{k}}^{\pm}$ , y por eso tomamos la suma de $H_{\vec{k}}$ sobre pares desordenados $\{\vec{k}, -\vec{k}\}$ .
@PCSpaniel Porque $p^2-x^2$ es el operador relevante para el caso $2\alpha > \beta + \gamma$ , puede buscar la palabra clave "oscilador armónico invertido".

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