Efecto Aharonov-Bohm en Torus

Una gran transformación es una transformación que no se puede conectar continuamente con la transformación de identidad (con la transformación que no hace nada) a través de otras transformaciones permitidas. Así, las grandes transformaciones se agrupan en "sectores" que están discretamente separados entre sí.

En electromagnetismo, las transformaciones de calibre son$U(1)$transformaciones parametrizadas por el número$\lambda(x,y,z,t)$que se define módulo$2\pi$. Campos cargados de carga integral$Q$transformar como

$$\Psi\to e^{iQ\lambda} \Psi$$ para que veas que solo $\exp(i\lambda)$asuntos: turnos de $\lambda$por $2\pi N$dónde $N\in{\mathbb Z}$no son físicos.

En el caso del efecto Aharonov-Bohm, hay un ciclo cerrado$C$alrededor del solenoide (donde se localiza el campo magnético) y la "transformación de gran calibre" relevante viene dada por

$$\lambda = \phi$$ dónde $0\leq \phi\leq 2\pi$es una variable angular periódica que parametriza el bucle cerrado $C$(en la parametrización más simple, algún ángulo en las coordenadas axiales o esféricas).

Tenga en cuenta que aunque esto$\lambda$no es una función de un solo valor de las coordenadas del espacio-tiempo$x,y,z$porque salta cuando$\phi$se incrementa por$2\pi$(que corresponde al regreso al punto original en el espacio), es una transformación de calibre permitida porque$\lambda\mod 2\pi$o equivalente,$\exp(i\lambda)$ es una función del espacio de un solo valor, y eso es todo lo que se necesita. Tal transformación de calibre puede estar mal definida dentro del contorno.$C$es decir, dentro del solenoide, sin embargo.

Cuando se realiza esta transformación grande mínima (topológicamente no trivial), el potencial de calibre$\vec A$es cobrado por$\nabla\cdot \lambda$. La integral de contorno cambia por$2\pi$

$$\oint_C \vec{d\ell}\cdot \vec A \to \oint_C \vec{d\ell}\cdot \vec A + 2\pi$$ porque la integral es una integral de un gradiente de $\lambda$, por lo que es sólo la diferencia de $\lambda$entre los puntos inicial y final que es $2\pi$, hasta un cartel. Por el teorema de Stokes, $\oint_C \vec{d\ell}\cdot \vec A$es lo mismo que la integral $$\int_\Sigma \vec{B}\cdot \vec{dS}$$ sobre el interior $\Sigma$del contorno $C$, es decir, dentro del solenoide, por lo que este flujo magnético salta $2\pi$también.

estaba descuidando los factores$e,c,\hbar$arriba. Con los factores correctos incluidos en las oraciones anteriores, el salto del flujo magnético es$2\pi\hbar / e$en sus unidades y convenciones. Entonces, las dos configuraciones físicas pueden diferir en sus valores del flujo magnético a través de$\Sigma$pero son físicamente equivalentes, es decir, indistinguibles porque están relacionados por una gran transformación de calibre (aunque una que solo está bien definida fuera del solenoide).