Comprensión de los aspectos técnicos de la cuantificación de ondas elásticas

Con respecto a su primer punto, esa ecuación es la relación de ortogonalidad para los exponenciales complejos como base para funciones periódicas en un conjunto discreto. (Esto es equivalente a la base de seno y coseno utilizada en más series de Fourier, porque los senos y los cosenos son combinaciones lineales simples de exponenciales complejos). Las pruebas de relaciones de ortogonalidad que involucran sumas discretas son difíciles y los físicos generalmente las dan por sentadas. Sin embargo, a menudo son análogas a las relaciones de ortogonalidad con integrales en lugar de sumas. Por ejemplo, usando las funciones$e^{ikx}$como base para funciones integrables cuadradas arbitrarias en la línea real, la relación de ortogonalidad es

$$\int_{-\infty}^{+\infty}dx\,e^{-i(k-k')x}=2\pi\delta(k,k')$$ que se puede demostrar a partir de la fórmula de inversión de la transformada de Fourier. De hecho, tomando el límite como$a\rightarrow0$pero$Na\rightarrow\infty$, tu fórmula se reduce al resultado integral.

El hecho de que no esté familiarizado con esta relación, así como con su tercera consulta, sugiere que es posible que no esté familiarizado con las descomposiciones de series de Fourier. (Tu uso inconsistente de "$j"$representar la unidad imaginaria también sugiere que usted puede provenir de una formación en ingeniería eléctrica). Hay muchos recursos sobre este tema, impresos y en línea; este breve conjunto de notas, por ejemplo , puede brindarle una introducción útil.

En tu segunda pregunta, la ecuación

$$\frac{d{\cal O}}{dt}=\frac{1}{i\hbar}[{\cal O},H]$$ es la ecuación de movimiento de Heisenberg para el operador${\cal O}$(sin dependencia temporal explícita). Esta fue la forma en que la dependencia del tiempo se expresó por primera vez en la mecánica cuántica , ya que el campo fue desarrollado por Heisenberg. Ahora, es más común utilizar la formulación de la teoría de Schrödinger , en la que los estados de la teoría dependen del tiempo, mientras que los operadores normalmente no. En la imagen de Schrödinger, se cumple la ecuación que ha citado con los valores esperados (un resultado conocido como el teorema de Ehrenfest ), pero en la imagen de Heisenberg, la ecuación se cumple incluso sin tener en cuenta las expectativas.

Si bien Schrödinger suele ser más útil, la imagen de Heisenberg puede ser más conveniente cuando el enfoque está en los operadores. En este caso, Kittel está usando la versión de Heisenberg, porque está desarrollando el álgebra de operadores para los modos de fonones. Las oscilaciones de fonones se comportan como osciladores armónicos simples, que se estudian más fácilmente en mecánica cuántica utilizando operadores de creación y aniquilación. En cuanto al descuido del último término en la ecuación de movimiento del operador, que involucra$\partial{\cal Q_{k}}/\partial t$, Kittel simplemente lo ha dejado caer ya, ya que el$Q_{k}$el operador de cuadratura como lo ha escrito no depende explícitamente de la variable$t$.

En cuanto a su tercera pregunta, la variable$Q_{k}$ciertamente representa algo real. Representa la amplitud de las oscilaciones de fotones que tienen vector de onda$k$con una fase determinada. La variable momento conjugado$\Pi_{k}$es proporcional a la amplitud de las oscilaciones que son$90^{\circ}$fuera de fase.