Vector de Runge-Lenz y órbitas keplerianas

Sí, las dos pérdidas están directamente relacionadas. Como explica Goldstein, solo puede esperar una cantidad conservada simple como el vector RL para casos degenerados como el problema de Kepler, donde$r$es una función univaluada de$\theta$.

Para el oscilador armónico isotrópico, el movimiento es nuevamente periódico y la cantidad conservada correspondiente es un tensor de segundo rango, que también cuenta como "simple".

Para otras leyes de fuerza (como GR), Goldstein comenta que se pueden construir cantidades conservadas similares al vector RL, pero "en general son funciones bastante peculiares", ya que$r$debe ser una función de valor infinito de$\theta$para estas órbitas no cerradas.

En un contexto clásico, el vector LRL se conserva solo para potenciales que se comportan como$\frac{k}{r}$, de hecho podemos ver la construcción general del vector LRL:

$$\begin{eqnarray} \frac{d\vec{p}}{dt}\times \vec{L} &=& -\partial_r v(r) \frac{\vec{r}}{r} \times \vec{L}, \nonumber\\ \mu r^3 \frac{d\hat{r}}{dt} &=& -\vec{r} \times \vec{L}, \nonumber \\ \vec{A} &=& \vec{p} \times \vec{L} - \int dt \Big(\partial_r v(r)\mu r^2 \dot{\hat{r}}\Big), \nonumber \end{eqnarray}$$ como podemos ver solo un potencial con la forma $\frac{k}{r}$danos vectores $\vec{A}$como una constante de movimiento...

Algunas observaciones:

1. Para una trayectoria fija, puede cambiar el vector de Runge-Lenz simplemente cambiando la velocidad de la partícula en función del tiempo.

2. Cuando una órbita plana se interseca a sí misma, por la forma de la ecuación me parece que podrías obtener el mismo vector de Runge-Lenz incluso si el movimiento es en una dirección diferente en el punto revisado.

3. Movimiento en un$r^2$el potencial es periódico, pero no conserva el vector de Runge-Lenz.

Por estas razones, no veo ninguna conexión obvia entre la conservación del vector de Runge-Lenz y la periodicidad del movimiento. Si tiene algún motivo específico para sospechar de dicha conexión, infórmenos.