Condición para órbitas cerradas

La órbita está en 2d y "oscila" entre un mínimo y un máximo$r$. La posición en el plano si está dada por$(r(t),\phi(t))$pero aquí$t$ha sido eliminado y usted tiene$r(\phi)$.

Como vas una vez de$r_{min}$a$r_{max}(\phi)$, el cuerpo avanzará a lo largo de la órbita una distancia angular$\Delta \phi$. a medida que vas de$r_{min}$a$r_{max}$y de vuelta a$r_{min}$, avanzas un ángulo$2\Delta \phi$.

Para obtener una órbita cerrada, eventualmente debe volver a su punto de partida, lo que significa que debe hacer un número entero$b$de viajes entre$r_{min}$y$r_{max}$mientras avanza por un múltiplo entero$a$de$2\pi$. Este es el origen geométrico de la$2\pi a/b$factor.

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Editar: en respuesta a un comentario, a continuación se ilustran dos situaciones. En ambos casos$r_{min}=1$y$r_{max}=3$, y estos valores se muestran como líneas rojas gruesas. Estos valores restringen las órbitas a un anillo de radio interior$1$y radio exterior$3$. El radio oscila entre$1$y$3$con cierta frecuencia$\omega_r$, como se puede ver por las líneas negras en las figuras.

Las ecuaciones paramétricas para las figuras de la izquierda y la derecha son, respectivamente,

$$r(\phi)=2+\cos\left(\sqrt{3}\phi\right)\, ,\qquad \hbox{and}\qquad r(\phi)=2+\cos\left(\phi\right)$$
En el primer caso, la relación $\omega_\phi/\omega_r$no es proporcional ya que $\sqrt{3}$es irracional, y la órbita no se cierra. La mejor manera de ver esto es notar que el comienzo de la curva paramétrica está en $r=3,\phi=0$pero, al final de la curva, $r\ne 3$. porque la proporción $\omega_\phi/\omega_r$es irracional, la órbita eventualmente llenaría densamente el anillo.

En el segundo caso, por el contrario, la relación$\omega_\phi/\omega_r$es proporcional, y uno puede mostrar (si seguimos la curva a través de su$\phi$evolución) que en realidad va de$r_{min}\to r_{max}\to r_{min}$exactamente una vez cuando$\phi$viene de$0\to 2\pi$.