Péndulo moviéndose más rápido que la velocidad de la luz

Para simplificar un poco las cosas, asuma pequeñas oscilaciones y una masa puntual. El Lagrangiano relativista para el caso unidimensional es

$$L = -\frac{mc^2}\gamma - \frac12kx^2.$$ La ecuación de movimiento resulta ser $$\ddot x + \frac13\frac1{c^2-\dot x^2}\frac{\text d}{\text dt}\dot x^3 + \frac{\omega^2}\gamma x=0,$$ dónde$\omega^2 = \tfrac km$. Realmente no he tratado de resolver esto (ni siquiera estoy seguro de que esto pueda resolverse analíticamente), pero uno puede dar una interpretación de los términos involucrados. El primero junto con el tercero recuerda el movimiento armónico clásico, solo que ahora la frecuencia, y por lo tanto el período, depende de la velocidad a través de$\gamma$. El término medio puede interpretarse como un término de amortiguamiento. A medida que la velocidad se acerca a la de la luz, este término de amortiguamiento diverge y podemos darle sentido debido al postulado de que un cuerpo masivo no puede viajar a la velocidad de la luz o más rápido. El límite no relativista se logra requiriendo$|\dot x|\ll c$, por lo que el término de amortiguamiento se vuelve despreciable,$\gamma\approx 1$y por lo tanto la ecuación se reduce a $$\ddot x + \omega^2x=0,$$ es decir, el MAS clásico.

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Las dos parcelas en Wolfram Alpha con$c=\omega = 1$son las de un péndulo en reposo con desplazamiento 1 del equilibrio y la de un péndulo en equilibrio con velocidad inicial la de la luz respectivamente. En el primer caso aparecen oscilaciones, mientras que en el segundo el movimiento es de velocidad constante ($\dot x(t)=1$en cualquier momento$t$) como se esperaba.

• No existe tal cosa como un cuerpo rígido en el mundo real, así como en la teoría de la relatividad especial. Por lo tanto, un péndulo muy grande es imposible.
• Para una cuerda, dada la cantidad de movimiento que tiene el péndulo, es imposible una pequeña oscilación.
• Para una cadena muy grande, depende de qué tan grande sea, la relatividad especial se define a pequeña escala, en una escala muy grande (~borde del universo observable), no está bien definida, uno no debería sorprenderse incluso si es más rápida que velocidad de la luz.

Para resumir: en una buena escala (más o menos del tamaño de un átomo a una galaxia, no estoy exactamente seguro), su argumento de que es más rápido que la luz no se sostiene, ya que no hay razones sólidas para respaldar el período.$T\propto l^{\frac {1}{2}}$

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1.) Incluso si está colgado de una cuerda, entonces su período seguramente también se verá completamente diferente, ya que alta velocidad significa alto impulso, entonces el movimiento debe venir con un ángulo más grande, por lo tanto, la aproximación de ángulo pequeño se rompe.

2.) Sin embargo, una forma de resolverlo "lógicamente" es asumir el$l$se acortará a medida que oscila, pero personalmente no veo ninguna forma factible de probarlo experimentalmente (tal vez tengas que hacer la óptica e, si quieres experimentar al respecto).

3.) Personalmente, creo que es más interesante preguntar qué sucederá si experimentamos con un haz de luz en lugar de un péndulo.

Hay dos razones importantes por las que esto es imposible. Por un lado, es poco práctico. El tirón gravitacional tendría que ser tan extremo que rompería el material usado para la cuerda, o la longitud sería tan larga que estaría bajo una fuerza de gravedad cada vez más débil a medida que se aleja.

Incluso si tuvieras una cuerda irrompible y una enorme masa muy cerca que no destruye el péndulo con su gravedad, todavía hay un problema. La masa en el extremo de la cuerda nunca se movería más rápido que la velocidad de la luz. Se acercaría más y más a la velocidad de la luz a medida que observas su movimiento. Pero, en lugar de acelerar al ritmo esperado, su masa comienza a crecer y, por lo tanto, la aceleración de esa masa solo hace que vaya un poco más rápido. De hecho, a medida que se acerca a la velocidad de la luz, su masa se acerca al infinito.