Vector de onda k⃗ k→\vec{k} vs vector de posición x⃗ x→\vec{x}

Si no me malinterpretan, la relación k = 2π/(Na) dice que cuando k tiende a cero, estamos muy, muy lejos del átomo de referencia y cuando k = 2π/a, estamos a una constante de red (a) de distancia en el espacio real del átomo de referencia.

Creo que estás un poco mal entendido. El vector espacial de impulso$\bf{k}$tiene poco que ver con dónde se coloca físicamente un objeto. Más bien, te dice la dirección y la frecuencia espacial de una onda plana. Entonces$|\mathbf{k}|=\frac{2\pi}{a}$es el vector de onda espacial de una onda plana que hace una oscilación completa cada distancia interatómica. Asimismo, cuando$|\mathbf{k}|\ll\frac{\pi}{a}$, debe visualizar una onda plana que tiene una longitud de onda muy larga, del orden de varios cientos de distancias interatómicas o más.

Con respecto a k = 0 valor propio, ¿cómo hago la conexión en la imagen del espacio real? ¿Podemos decir que cuando estamos infinitamente lejos de nuestro átomo de referencia, la energía es E-2t?

No exactamente. La intuición del modelo de unión estrecha es que cuando se juntan átomos individuales, las funciones de onda que se obtendrían para el cristal mediante un cálculo de fuerza bruta se verían muy similares a lo que vería si colocara una función de onda de un solo átomo en cada punto de red (dando una función que denotaré$\psi(\mathbf{x})$) y luego multiplicó todo el conjunto por una onda plana espacial,$e^{i\mathbf{k\cdot x}}$.

También hay una simple intuición de por qué el$\mathbf{k}=0$el conjunto tiene una energía menor que el$|\mathbf{k}|=\pi/a$asamblea. Recuerde de la física de primer año que las cosas con longitud de onda corta (electromagnéticas, de Broglie, ondas planas cuánticas, etc.) tienen mayor energía que las cosas con longitud de onda larga. Trate de visualizar$\psi(\mathbf{x})e^{i\mathbf{0\cdot x}}$. Ahora trata de visualizar$\psi(\mathbf{x})e^{i\mathbf{k\cdot x}}$dónde$|\mathbf{k}|>0$. ¿Cuál tiene una longitud de onda más corta? El factor adicional de$e^{i\mathbf{k\cdot x}}$agrega oscilaciones, que intuitivamente esperaría aumentar la energía.

Entonces, para resumir, el cristal tiene una función de onda de baja energía que se parece mucho a$\psi(\mathbf{x})e^{i\mathbf{0\cdot x}}$y que tiene energía$E-2t$, tiene una función de onda altamente oscilatoria de alta energía que se parece mucho a$\psi(\mathbf{x})e^{i\mathbf{k\cdot x}}$dónde$|\mathbf{k}|=\pi /a$y que tiene energía$E+2t$, y tiene un montón de modos en el medio. Y solo para reiterar, en realidad no tiene nada que ver con qué tan lejos estás de cualquier átomo de referencia en particular.

Además, ¿ha oído hablar de los orbitales de "enlace" y "anti-enlace"? Tenga en cuenta que cuando$|\mathbf{k}|=\pi /a$, la función de onda cambia de signo en cada punto de la red, mientras que cuando$|\mathbf{k}|=0$, la función de onda tiene el mismo signo en cada punto de la red. Por lo tanto, el estado de momento cero puede considerarse un estado de "enlace" de baja energía, y los estados cercanos a los bordes de la zona de Brillouin pueden considerarse estados de "antienlace" de alta energía.