Variación de la curvatura escalar tras la deformación del marco.

Una ecuación útil podría ser

$$g^{\mu\nu} \delta R_{\mu\nu} = (g_{\mu\nu}\nabla^2 -\nabla_\mu \nabla_\nu) \delta g^{\mu\nu},$$ pero puede ser que ya estés usando esto?

Sin embargo, no creo que tengas la compatibilidad correcta. La conexión se define especificando la derivada covariante de los vectores base de$T(M)$. En el caso de un marco vielbein${\bf e}_a$, la derivada covariante del vector${\bf e}_a$se escribe como

$$\nabla_\mu{\bf e}_a = {\bf e}_b {\omega^b}_{a\mu}$$ que uno puede escribir en componentes del marco de coordenadas (es decir, donde ${\bf e}_a=e_a^\mu \partial_\mu$) como $$\nabla_\mu e^\nu_a \equiv (\nabla_\mu{\bf e}_a)^\nu= e^\nu_b {\omega^b}_{a\mu}.$$ Por lo tanto, la derivada covariante de la base de vierbein no es cero. He visto a personas abogar por pasar vierbeins a través de derivadas covariantes escribiendo esta última ecuación como $$\partial_\mu e^\nu_a + {\Gamma^\nu}_{\lambda\mu} e^\lambda_a - e^\nu_b {\omega^b}_{a\mu}=0$$ y pensar en esto como una especie de derivada covariante "generalizada" que es cero. Al hacer esto, están cometiendo el error de imaginar que el " $a$'' en $e_a^\mu$es un índice en lugar de una etiqueta que nos dice qué vector de marco ${\bf e}_a$es. Es quizás un mnemotécnico útil, pero también es un poco esquizofrénico, ya que están intentando trabajar simultáneamente con un marco vielbein y una base coordinada para el espacio tangente. $T(M)$. No tiene sentido matemático interpretar la definición de la conexión del marco ${\omega^b}_{a\mu}$de esa manera. Ciertamente la expresión $$\partial_\mu e^\nu_a + {\Gamma^\nu}_{\lambda\mu} e^\lambda_a - e^\nu_b {\omega^b}_{a\mu}$$ no es el $\nu$-ésima componente de la derivada covariante $\nabla_\mu {\bf e}_a$! Tratarlo como si lo fuera conducirá inevitablemente a la confusión, y esto es lo que sospecho que está sucediendo en su cálculo.

Otra fórmula útil para la variación de la conexión de espín libre de tosión bajo un cambio de marco vielbein es

$$(\delta \omega_{ij\mu}) e^\mu_k =-\frac 12\left\{( \eta_{ib}( \nabla_j [e^{*b}_\alpha \delta e^\alpha_k]- \nabla_k [e^{*b}_\alpha \delta e^\alpha_j]) +\eta_{jb}( \nabla_k [e^{*b}_\alpha \delta e^\alpha_i]- \nabla_i [e^{*b}_\alpha \delta e^\alpha_k]) -\eta_{kb}( \nabla_i [e^{*b}_\alpha \delta e^\alpha_j]- \nabla_j [e^{*b}_\alpha \delta e^\alpha_i])\right\}.$$ donde creo que mi $\eta_{ib}e^{*b}_\alpha \delta e^\alpha_j= {\bf e}_i\cdot \delta{\bf e}_j$son lo mismo que tu $H_{ij}$