Factor de 4 (o 2) en la ley de fuerza de Lorentz gravitoelectromagnética (GEM). ¿Cual es correcta? ¿Por qué está ahí?

Me doy cuenta de que las ecuaciones gravitoelectromagnéticas ( GEM ) se derivan de la ecuación de campo de Einstein (EFE) en el caso degenerado de espacio-tiempo razonablemente plano, que es el caso de la propagación de ondas gravitacionales en el espacio libre razonablemente lejos de las enfermedades como los agujeros negros o estrellas de neutrones o similares.

Ahora, entiendo bastante bien las ecuaciones de Maxwell y cómo derivar la radiación EM (a la velocidad de onda de C C ) de ellos. También entiendo la fuerza electromagnética como una manifestación de la única fuerza electrostática, pero teniendo en cuenta las consecuencias de la relatividad especial.

Entonces, en ambos casos, EM y GEM, tenemos en el caso límite, una interacción estática de cuadrado inverso y una interacción dinámica que se propaga a la misma velocidad de C C . La interacción del cuadrado inverso conduce a la ley de Gauss y la contraparte diferencial (divergencia) en las ecuaciones de Maxwell (o en las ecuaciones GEM).

Bien, solo para comparación, las leyes estáticas de EM y la gradación de los cuadrados inversos son:

F mi = 1 4 π ϵ 0 0 q 1 q 2 r 2 F mi = 1 4 4 π ϵ 0 0 q 1 q 2 r 2
y
F sol = - G m 1 metro 2 r 2 F sol = - sol metro 1 metro 2 r 2

En ambos casos, una fuerza positiva F mi F mi o F sol F sol Es repulsivo. Es por eso que el signo menos debe adjuntarse a sol sol en la ley de gravitación estática.

Entonces las ecuaciones de Maxwell para EM son:

∇ ⋅ E ∇ ⋅ B ∇ × E ∇ × B = 1 ϵ 0 0 ρ = 0 = - 1 C ∂ si ∂ t = 1 C ( 1 ϵ 0 0 ρ v ρ + ∂ mi ∂ t ) ∇ ⋅ mi = 1 ϵ 0 0 ρ ∇ ⋅ si = 0 0 ∇ × mi = - 1 C ∂ si ∂ t ∇ × si = 1 C ( 1 ϵ 0 0 ρ v ρ + ∂ mi ∂ t )

y las contrapartes de GEM:

∇ ⋅ E sol ∇ ⋅ B sol ∇ × E sol ∇ × B sol = - 4 π sol   ρ = 0 = - 1 C ∂ si sol ∂ t = 1 C ( - 4 π sol   ρ v ρ + ∂ mi sol ∂ t ) ∇ ⋅ mi sol = - 4 4 π sol ρ ∇ ⋅ si sol = 0 0 ∇ × mi sol = - 1 C ∂ si sol ∂ t ∇ × si sol = 1 C ( - 4 4 π sol ρ v ρ + ∂ mi sol ∂ t )

En el caso de EM, he eliminado μ 0 0 μ 0 0 y lo expresó en términos de ϵ 0 0 ϵ 0 0 y C C . En ambos casos, he expresado la densidad de corriente J J como densidad de carga (o densidad de masa) por la velocidad de la carga diferencial o masa. Y, en ambos casos, expresé en términos de unidades de Lorentz-Heaviside lo que hace que el si si el campo tiene las mismas dimensiones (y unidades) que el campo mi mi campo. Esto es consistente con la mayoría de los documentos relacionados con GEM.

Tanto las expresiones de cuadrado inverso como EM / GEM son totalmente consistentes con el reemplazo de carga con masa, la densidad de carga con densidad de masa y 1 4 π ϵ 0 0 1 4 4 π ϵ 0 0 con - G - sol . Ambos conjuntos de ecuaciones EM / GEM degeneran a las leyes del cuadrado inverso y a una interacción que se propaga a una velocidad de C C .

Hasta ahora, esto concuerda con las expresiones para EM o GEM en los artículos de Wikipedia sobre cualquiera de los dos. La diferencia viene con las ecuaciones de fuerza de Lorentz que actúan sobre una pequeña carga de prueba q q o pequeña masa de prueba metro metro (moviéndose a una velocidad independiente de la densidad de corriente de carga o la densidad de corriente de masa anterior):

Para EM es:

F mi = q E + q C v q × B F mi = q mi + q C v q × si

Para GEM, en el artículo de Wikipedia es:

F sol = m E sol + m C v metro × ( 4 B sol ) F sol = metro mi sol + metro C v metro × ( 4 4 si sol )

El primer término (derecho del " = = "signo" es la fuerza gravitacional electrostática o estática y el último término es la fuerza electromagnética o gravitomagnética.

Ahora, para la fuerza GEM Lorentz, ¿de dónde viene ese factor de 4 4 4 4 ¿viene de? Y hay otros documentos que muestran las ecuaciones GEM como arriba, pero tienen un factor de 2 2 en lugar:

F sol = m E sol + m C v metro × ( 2 B sol ) F sol = metro mi sol + metro C v metro × ( 2 si sol )

o no hay factor de fraude en la fuerza de Lorentz, pero un 1 2 si sol 1 2 si sol en el GEM , que es equivalente.

No sé por qué tampoco 4 4 4 4 o la 2 2 entraría en esto, pero me gustaría saber quién está en lo correcto; el 4 B sol 4 4 si sol defensores o la 2 B sol 2 si sol defensores?

Respuestas (1)

TL; DR: el factor de 4 4 4 4 en la fuerza de Lorentz viene moralmente hablando de tratar de imitar un campo spin-2 como un campo spin-1. No existe una convención de normalización única / canónica / "correcta": todavía es posible normalizar / escalar los campos ϕ ϕ , UN UN , mi mi Y si si , como queramos, pero eso solo mueve el factor de 4 4 4 4 alrededor: ¡No desaparece en todas partes!

En detalle:

  1. Considere el EFE linealizado 1 1

    sol μ ν   =   - 1 2 □ h ¯ μ ν   =   κ T μ ν , κ   ≡   8 π sol C 4 4 , (1) (1) sol μ ν = - 1 2 ◻ h ¯ μ ν = κ T μ ν , κ ≡ 8 π sol C 4 4 ,
    en el medidor de Lorenz
    ∂ μ h ¯ μ ν   =   0. (2) (2) ∂ μ h ¯ μ ν = 0.
    aquí
    sol μ ν   =   η μ ν + h μ ν , h ¯ μ ν   : =   h μ ν - 1 2 η μ ν h ⇔ h μ ν   : =   h ¯ μ ν - 1 2 η μ ν h ¯ . (3) (3) sol μ ν = η μ ν + h μ ν , h ¯ μ ν : = h μ ν - 1 2 η μ ν h ⇔ h μ ν : = h ¯ μ ν - 1 2 η μ ν h ¯ .
    Se supone que el asunto es polvo :
    T μ 0   =   c j μ , j μ   =   [ c ρ J ] , T yo j   =   O ( c 0 0 ) (4) (4) T μ 0 0 = C j μ , j μ = [ C ρ J ] , T yo j = O ( C 0 0 ) .

  2. En nuestra convención, el GEM ansatz lee

    UN μ   =   [ ϕ / c UN ] , h ¯ yo j   =   O ( c - 4 ) , UN μ = [ ϕ / / C UN ] , h ¯ yo j = O ( C - 4 4 ) ,
    - 1 4 4 h ¯ μ ν   =   [ ϕ / c 2 Aire acondicionado UN T / c O ( c - 4 ) ] 4 × 4 ⇔ - h μ ν   =   [ 2 ϕ / c 2 4 A / c 4 A T / c ( 2 ϕ / c 2 ) 1 3 × 3 ] 4 × 4 - 1 4 4 h ¯ μ ν = [ ϕ / / C 2 UN T / / C UN / / C O ( C - 4 4 ) ] 4 4 × 4 4 ⇔ - h μ ν = [ 2 ϕ / / C 2 4 4 UN T / / C 4 4 UN / / C ( 2 ϕ / / C 2 ) 1 3 × 3 ] 4 4 × 4 4
    ⇔ sol μ ν   =   [ - 1 - 2 ϕ / c 2 4 A / c 4 A T / c ( 1 - 2 ϕ / c 2 ) 1 3 × 3 ] 4 × 4 . (5) (5) ⇔ sol μ ν = [ - 1 - 2 ϕ / / C 2 4 4 UN T / / C 4 4 UN / / C ( 1 - 2 ϕ / / C 2 ) 1 3 × 3 ] 4 4 × 4 4 .
    El medidor gravitacional de Lorenz (2) corresponde a la condición del medidor de Lorenz
    C - 2 ∂ t ϕ + ∇ ⋅ A   ≡   ∂ μ UN μ   =   0 0 (6) (6) C - 2 ∂ t ϕ + ∇ ⋅ UN ≡ ∂ μ UN μ = 0 0
    y el "límite electrostático"
    ∂ t UN   =   O ( c - 2 ) (7) (7) ∂ t UN = O ( C - 2 ) .

  3. Luego defina la intensidad de campo

    F μ ν   : =   ∂ μ UN ν - ∂ ν UN μ , - E   : =   ∇ ϕ + ∂ t A si   : =   ∇ × A. (8) (8) F μ ν : = ∂ μ UN ν - ∂ ν UN μ , - mi : = ∇ ϕ + ∂ t UN , si : = ∇ × UN .
    Luego, los sectores tempotemporal y espacio-temporal del EFE linealizado (1) se convierten en las ecuaciones gravitatorias de Maxwell con fuentes
    ∂ μ F μ ν   =   4 π sol C j μ . (9) (9) ∂ μ F μ ν = 4 4 π sol C j μ .
    Tenga en cuenta que el campo gravitacional (eléctrico) mi mi debe estar hacia adentro (hacia afuera) para una masa positiva (carga), respectivamente. Por esta razón, en esta respuesta / OP / Wikipedia , las ecuaciones GEM (9) y las ecuaciones de Maxwell tienen opuestos 2 2 señales. Vea también esta publicación relacionada Phys.SE.

  4. El lagrangiano para una partícula puntual masiva en un espacio curvo en el medidor estático X 0 0 = c t X 0 0 = C t es

    L   =   - m 0 0 c - g μ ν X ˙ μ X ˙ μ - - - - - - - - √   = ( 5 )   - m 0 0 c c 2 + 2 ϕ - 8 A ⋅ v - ( 1 - 2 ϕ / c 2 ) v 2 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - √ L = - metro 0 0 C - sol μ ν X ˙ μ X ˙ μ = ( 5 5 ) - metro 0 0 C C 2 + 2 ϕ - 8 UN ⋅ v - ( 1 - 2 ϕ / / C 2 ) v 2
      =   - m 0 0 C 2 γ 1 + 2 γ 2 C 2 ( ( 1 + v 2 / c 2 ) ϕ - 4 v ⋅ A ) - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - √   = ( 12 )   - m 0 0 C 2 γ   -   U   +   O ( A 2 ) , (10) (10) = - metro 0 0 C 2 γ 1 + 2 γ 2 C 2 ( ( 1 + v 2 / / C 2 ) ϕ - 4 4 v ⋅ UN ) = ( 12 ) - metro 0 0 C 2 γ - U + O ( UN 2 ) ,
    γ   : =   1 1 - v 2 / c 2 - - - - - - - - √ . (11) (11) γ : = 1 1 - v 2 / / C 2 .
    Aquí el potencial dependiente de la velocidad para la fuerza gravitacional de Lorentz es
    U   =   metro 0 0 γ ( ( 1 + v 2 / c 2 ) ϕ - 4 v ⋅ A )   = norte R   metro 0 0 ( ϕ - 4 v ⋅ A )   +   O ( v 2 ) (12) (12) U = metro 0 0 γ ( ( 1 + v 2 / / C 2 ) ϕ - 4 4 v ⋅ UN ) = norte R metro 0 0 ( ϕ - 4 4 v ⋅ UN ) + O ( v 2 ) .
    La fuerza gravitacional de Lorentz se convierte en el límite no relativista (NR)
    F   =   re re t ∂ U ∂ v - ∂ U ∂ r   ≈ norte R   metro 0 0 ( - ∇ ϕ + 4 ( v × B - ∂ t A ) )   = ( 7 )   metro 0 0 ( E + 4 v × B ) . (13) (13) F = re re t ∂ U ∂ v - ∂ U ∂ r ≈ norte R metro 0 0 ( - ∇ ϕ + 4 4 ( v × si - ∂ t UN ) ) = ( 7 7 ) metro 0 0 ( mi + 4 4 v × si ) .

Referencias

  1. B. Mashhoon, Gravitoelectromagnetism: A Brief Review, arXiv: gr-qc / 0311030 .

-

1 1 En esta respuesta usamos la convención de signos de Minkowski ( - , + , + , + ) ( - , + , + , + ) y trabajar en el sistema SI. Índices espaciales i , j , ... ∈ { 1 , 2 , 3 } yo , j , ... ∈ { 1 , 2 , 3 } son letras romanas, mientras que los índices espacio-temporales μ , ν , … ∈ { 0 , 1 , 2 , 3 } μ , ν , ... ∈ { 0 0 , 1 , 2 , 3 } son letras griegas

2 2 Advertencia: en Mashhoon (Ref. 1) las ecuaciones GEM (9) y las ecuaciones de Maxwell tienen el mismo signo. A modo de comparación, en esta respuesta Phys.SE

ϕ   =   - ϕ Mashhoon , mi   =   - E Mashhoon , ϕ = - ϕ Mashhoon , mi = - mi Mashhoon ,
UN   =   - 1 2 c UN Mashhoon , si   =   - 1 2 c si Mashhoon . (14) (14) UN = - 1 2 C UN Mashhoon , si = - 1 2 C si Mashhoon .

Agregué +1 y marqué la respuesta, aunque no sé suficiente GR para decodificar la respuesta. entonces parece que " 4 4 4 4 "lo es. aun así, en esta respuesta demuestro lo poco que este ingeniero eléctrico sabe de física al establecer un experimento mental con dos líneas de carga, y la aceleración de su repulsión se reduce por la fuerza magnética o por la dilatación del tiempo". Ahora si fueras a ...
... reemplace esas dos líneas de carga con líneas de masa y considere su atractiva aceleración en el caso de las líneas de masa estacionarias para usted, el observador, y luego nuevamente con ellas moviéndose en relación con usted, el observador, desde un punto de vista de especial Relatividad, la aceleración se reduciría igual que con el magnetismo. pero desde el punto de vista de las ecuaciones GEM con ese factor de 4 4 4 4 , ¿no significaría que la aceleración atractiva se reduciría 4 veces más? ¿Podría esa atractiva aceleración reducirse a cero? o incluso a una aceleración negativa y la gravedad repele las dos líneas?
P, ¿debería hacer esa pregunta en una pregunta separada?
Sí, esa parece ser una nueva pregunta separada.
De acuerdo, Q, intentaré publicar una pregunta por separado en un intento de resolver esta disparidad en mi entendimiento. me parece que la fuerza gravito-magnética es 4 veces demasiado fuerte y, pensando en este simple par de líneas de masa paralelas infinitas, me parece que el mismo experimento mental debería funcionar para GEM como lo hace para EM.
Factor de 4 (o 2) en la ley de fuerza de Lorentz gravitoelectromagnética (GEM). ¿Cual es correcta? ¿Por qué está ahí?
RespuestasAquíPolítica de privacidad54y, 0v