Use la ecuación de Euler-Lagrange para encontrar las ecuaciones de movimiento

Question

Use la ecuación de Euler-Lagrange para encontrar las ecuaciones de movimiento

Física
osciladores acoplados
formalismo lagrangiano
cálculo variacional
deberes-y-ejercicios

kira1985

tengo que usar la ecuacion de euler-lagrange

\frac{d}{d t} \frac{\partial L}{\partial \dot{q}} - \frac{\partial L}{\partial q} = 0

$\frac{d}{dt} \frac{\partial L}{\partial \dot{q}} - \frac{\partial L}{\partial q} = 0$

ir de

L = T - V = \sum_{norte = 1}^{norte} \frac{metro}{2} {\dot{q}}_{norte}^{2} - \sum_{norte = 1}^{norte} \frac{k}{2} {(q_{norte + 1} - q_{norte})}^{2}

$L = T - V = \sum_{n=1}^N \frac{m}{2} {\dot{q}_n}^2 - \sum_{n=1}^N \frac{K}{2} {\left( q_{n+1} - q_n \right)}^2$

a

metro {\ddot{q}}_{norte} + \frac{k}{2} [2 (q_{norte} - q_{norte - 1}) - 2 (q_{norte + 1} + - q_{norte})] = 0

$m\ddot{q}_n + \frac{K}{2} \left[ 2 \left(q_n - q_{n-1}\right) - 2 \left(q_{n+1} + - q_n\right) \right] = 0$

o

metro {\ddot{q}}_{norte} = k (q_{norte + 1} + q_{norte - 1} - 2 q_{norte})

$m\ddot{q}_n = K \left( q_{n+1} + q_{n-1} - 2q_n \right)$

Así que empecé con

\frac{\partial L}{\partial \dot{q}} = \frac{metro}{2} \sum_{norte = 1}^{norte} \frac{\partial}{\partial \dot{q}} ({\dot{q}}_{norte}^{2}) = \sum_{norte = 1}^{norte} metro {\dot{q}}_{norte}

$\frac{\partial L}{\partial \dot{q}} = \frac{m}{2} \sum_{n=1}^N \frac{\partial}{\partial \dot{q}} \left( {\dot{q}_n}^2 \right) = \sum_{n=1}^N m\dot{q}_n$

\frac{d}{d t} (\sum_{norte = 1}^{norte} metro {\dot{q}}_{norte}) = \sum_{norte = 1}^{norte} metro {\ddot{q}}_{norte}

$\frac{d}{dt} \left( \sum_{n=1}^N m\dot{q}_n \right) = \sum_{n=1}^N m\ddot{q}_n$

Luego, en la segunda suma, me falta algo.

\frac{\partial L}{\partial q} = - \frac{k}{2} \sum_{norte = 1}^{norte} \frac{\partial}{\partial q} {(q_{norte + 1} - q_{norte})}^{2}

$\frac{\partial L}{\partial q} = -\frac{K}{2} \sum_{n=1}^N \frac{\partial}{\partial q} {\left( q_{n+1} - q_n \right)}^2$

¿Cómo se acerca esto al segundo término en la tercera ecuación?

Pensé que tal vez debería volver a calcular para cada n, así que reescribí las ecuaciones:

\frac{\partial L}{\partial {\dot{q}}_{norte}} = \frac{metro}{2} \sum_{norte = 1}^{norte} \frac{\partial}{\partial {\dot{q}}_{norte}} ({\dot{q}}_{norte}^{2}) = \sum_{norte = 1}^{norte} metro {\dot{q}}_{norte}

$\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_n} = \frac{m}{2} \sum_{n=1}^N \frac{\partial}{\partial \dot{q}_n} \left( {\dot{q}_n}^2 \right) = \sum_{n=1}^N m\dot{q}_n$

\frac{d}{d t} (\sum_{norte = 1}^{norte} metro {\dot{q}}_{norte}) = \sum_{norte = 1}^{norte} metro {\ddot{q}}_{norte}

$\frac{d}{dt} \left( \sum_{n=1}^N m\dot{q}_n \right) = \sum_{n=1}^N m\ddot{q}_n$

\frac{\partial L}{\partial q_{norte}} = - \frac{k}{2} \sum_{norte = 1}^{norte} \frac{\partial}{\partial q_{norte}} {(q_{norte + 1} - q_{norte})}^{2} = - \frac{k}{2} \sum_{norte = 1}^{norte} 2 (q_{norte + 1} - q_{norte}) (- 1)

$\frac{\partial L}{\partial q_n} = -\frac{K}{2} \sum_{n=1}^N \frac{\partial}{\partial q_n} {\left( q_{n+1} - q_n \right)}^2 = -\frac{K}{2} \sum_{n=1}^N 2{\left( q_{n+1} - q_n \right)}(-1)$

\frac{\partial L}{\partial q_{norte}} = \frac{k}{2} \sum_{norte = 1}^{norte} 2 (q_{norte + 1} - q_{norte})

$\frac{\partial L}{\partial q_n} = \frac{K}{2} \sum_{n=1}^N 2{\left( q_{n+1} - q_n \right)}$

Entonces para n+1

\frac{\partial L}{\partial {\dot{q}}_{norte + 1}} = \frac{metro}{2} \sum_{norte = 1}^{norte} \frac{\partial}{\partial {\dot{q}}_{norte + 1}} ({\dot{q}}_{norte}^{2}) = 0

$\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_{n+1}} = \frac{m}{2} \sum_{n=1}^N \frac{\partial}{\partial \dot{q}_{n+1}} \left( {\dot{q}_n}^2 \right) = 0$

\frac{\partial L}{\partial q_{norte + 1}} = - \frac{k}{2} \sum_{norte = 1}^{norte} \frac{\partial}{\partial q_{norte + 1}} {(q_{norte + 1} - q_{norte})}^{2} = - \frac{k}{2} \sum_{norte = 1}^{norte} 2 (q_{norte + 1} - q_{norte})

$\frac{\partial L}{\partial q_{n+1}} = -\frac{K}{2} \sum_{n=1}^N \frac{\partial}{\partial q_{n+1}} {\left( q_{n+1} - q_n \right)}^2 = -\frac{K}{2} \sum_{n=1}^N 2{\left( q_{n+1} - q_n \right)}$

Ahora hay 2 ecuaciones (¿acopladas?):

metro {\ddot{q}}_{norte} - \frac{k}{2} 2 (q_{norte + 1} - q_{norte}) = 0

$m\ddot{q}_n - \frac{K}{2} 2{\left( q_{n+1} - q_n \right)} = 0$

\frac{k}{2} 2 (q_{norte + 1} - q_{norte}) = 0

$\frac{K}{2} 2{\left( q_{n+1} - q_n \right)} = 0$

que resultado

metro {\ddot{q}}_{norte} + k [(q_{norte + 1} - q_{norte}) - (q_{norte + 1} - q_{norte})] = 0

$m\ddot{q}_n + K \left[ {\left( q_{n+1} - q_n \right) - \left( q_{n+1} - q_n \right)} \right] = 0$

Si puedo reescribir uno de los paréntesis n+1 -> n y n -> n-1, entonces puedo obtener el resultado deseado.

metro {\ddot{q}}_{norte} + k [(q_{norte} - q_{norte - 1}) - (q_{norte + 1} - q_{norte})] = 0

$m\ddot{q}_n + K \left[ {\left( q_{n} - q_{n-1} \right) - \left( q_{n+1} - q_n \right)} \right] = 0$

metro {\ddot{q}}_{norte} + k (- q_{norte - 1} - q_{norte + 1} + 2 q_{norte}) = 0

$m\ddot{q}_n + K {\left(- q_{n-1} - q_{n+1} + 2q_n \right)} = 0$

metro {\ddot{q}}_{norte} = k (q_{norte - 1} + q_{norte + 1} - 2 q_{norte})

$m\ddot{q}_n = K {\left(q_{n-1} + q_{n+1} - 2q_n \right)}$

Pero esto suena como BS, así que no tengo idea de lo que estoy haciendo. Iluminame.

dpravos

si, porque tienes

N

$N$ partículas, tienes

N

$N$ coordenadas

q_{k}

$q_k$ , así que tienes

N

$N$ eom, uno para cada uno

q_{k}

$q_k$ . Con una lectura rápida, diría que tu derivación está bien.

dpravos

Observe que para obtener los eom para el

n

$n$ -ésima partícula, hay que tener en cuenta la ecuación para

q_{n}

$q_n$ , con un término como

(q_{n + 1} - q_{n})^{2}

$(q_{n+1}-q_n)^2$ , sino también la ecuación para

q_{n - 1}

$q_{n-1}$ , porque

q_{n}

$q_n$ aparece en

(q_{n} - q_{n - 1})^{2}

$(q_n-q_{n-1})^2$ .

kira1985

Entonces, lo que estás diciendo es que debería hacer esto (n+1)

\frac{\partial L}{\partial q_{norte + 1}} = - k \sum_{norte = 1}^{norte} (q_{norte + 1} - q_{norte})

$\frac{\partial L}{\partial q_{n+1}} = - K \sum_{n=1}^N \left( q_{n+1} - q_n \right)$

k (q_{norte + 1} - q_{norte}) = 0

$K \left( q_{n+1} - q_n \right) = 0$ (norte)

\frac{\partial L}{\partial q_{norte}} = k \sum_{norte = 1}^{norte} (q_{norte + 1} - q_{norte})

$\frac{\partial L}{\partial q_{n}} = K \sum_{n=1}^N \left( q_{n+1} - q_n \right)$

metro {\ddot{q}}_{norte} - k (q_{norte + 1} - q_{norte}) = 0

$m\ddot{q}_n - K \left( q_{n+1} - q_n \right) = 0$ (n-1)

\frac{\partial L}{\partial q_{norte - 1}} = k \sum_{norte = 1}^{norte} (q_{norte} - q_{norte - 1})

$\frac{\partial L}{\partial q_{n-1}} = K \sum_{n=1}^N \left( q_n - q_{n-1} \right)$

- k (q_{norte} - q_{norte - 1}) = 0

$- K \left( q_n - q_{n-1} \right) = 0$ Y la ecuación de movimiento es

metro {\ddot{q}}_{norte} - k (+ q_{norte} - q_{norte - 1}) = 0

$m\ddot{q}_n - K {\left( + q_n - q_{n-1} \right)} = 0$ Estoy confundido

dpravos

Lo siento, me equivoqué. Lo que queria decir es que al tomar el wrt parcial

q_{n}

$q_n$ tienes dos términos que implican

q_{n}

$q_n$ , siendo estos

(q_{n + 1} - q_{n})^{2} + (q_{n} - q_{n - 1})^{2}

$(q_{n+1}-q_n)^2+(q_n-q_{n-1})^2$ . Cuando aplica las ecuaciones EL teniendo esto en cuenta, la derivación es directa.

Respuestas (1)

Use la ecuación de Euler-Lagrange para encontrar las ecuaciones de movimiento

si, porque tienes $N$ partículas, tienes $N$ coordenadas $q_k$ , así que tienes $N$ eom, uno para cada uno $q_k$ . Con una lectura rápida, diría que tu derivación está bien.
Observe que para obtener los eom para el $n$ -ésima partícula, hay que tener en cuenta la ecuación para $q_n$ , con un término como $(q_{n+1}-q_n)^2$ , sino también la ecuación para $q_{n-1}$ , porque $q_n$ aparece en $(q_n-q_{n-1})^2$ .
Entonces, lo que estás diciendo es que debería hacer esto (n+1) $\frac{\partial L}{\partial q_{norte + 1}} = - k \sum_{norte = 1}^{norte} (q_{norte + 1} - q_{norte})$ $\frac{\partial L}{\partial q_{n+1}} = - K \sum_{n=1}^N \left( q_{n+1} - q_n \right)$ $k (q_{norte + 1} - q_{norte}) = 0$ $K \left( q_{n+1} - q_n \right) = 0$ (norte) $\frac{\partial L}{\partial q_{norte}} = k \sum_{norte = 1}^{norte} (q_{norte + 1} - q_{norte})$ $\frac{\partial L}{\partial q_{n}} = K \sum_{n=1}^N \left( q_{n+1} - q_n \right)$ $metro {\ddot{q}}_{norte} - k (q_{norte + 1} - q_{norte}) = 0$ $m\ddot{q}_n - K \left( q_{n+1} - q_n \right) = 0$ (n-1) $\frac{\partial L}{\partial q_{norte - 1}} = k \sum_{norte = 1}^{norte} (q_{norte} - q_{norte - 1})$ $\frac{\partial L}{\partial q_{n-1}} = K \sum_{n=1}^N \left( q_n - q_{n-1} \right)$ $- k (q_{norte} - q_{norte - 1}) = 0$ $- K \left( q_n - q_{n-1} \right) = 0$ Y la ecuación de movimiento es $metro {\ddot{q}}_{norte} - k (+ q_{norte} - q_{norte - 1}) = 0$ $m\ddot{q}_n - K {\left( + q_n - q_{n-1} \right)} = 0$ Estoy confundido
Lo siento, me equivoqué. Lo que queria decir es que al tomar el wrt parcial $q_n$ tienes dos términos que implican $q_n$ , siendo estos $(q_{n+1}-q_n)^2+(q_n-q_{n-1})^2$ . Cuando aplica las ecuaciones EL teniendo esto en cuenta, la derivación es directa.

dpravos · Answer 1

Tenemos

L = \frac{metro}{2} \sum_{norte = 1}^{norte} {\dot{q}}_{norte} - \frac{k}{2} \sum_{norte = 1}^{norte} (q_{norte + 1} - q_{norte})^{2}

$L= \frac{m}{2}\sum_{n~=~1}^N \dot{q}_n - \frac{K}{2}\sum_{n~=~1}^N(q_{n+1}-q_n)^2$

Considere las ecuaciones de movimiento para el $k$ -ésima partícula:

\frac{\partial L}{\partial q_{k}} - \frac{d}{d t} \frac{\partial L}{\partial {\dot{q}}_{k}} = 0

$\frac{\partial L}{\partial q_k}-\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_k} = 0$ .

El término de la velocidad es fácil:

\frac{d}{d t} \frac{\partial L}{\partial {\dot{q}}_{k}} = \frac{d}{d t} (metro {\dot{q}}_{k}) = metro {\ddot{q}}_{k}

$\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_k} = \frac{\mathrm d}{\mathrm dt}(m \dot{q}_k)=m\ddot{q}_k$

Con las posiciones, observe que cada coordenada aparece en dos términos, por lo que

\begin{aligned} \frac{\partial L}{\partial q_{k}} & = \frac{\partial}{\partial q_{k}} [- \frac{k}{2} (q_{k} - q_{k - 1})^{2} - \frac{k}{2} (q_{k + 1} - q_{k})^{2}] \\ = - k (q_{k} - q_{k - 1}) + k (q_{k + 1} - q_{k}) = k (q_{k + 1} + q_{k - 1} - 2 q_{k}) \end{aligned}

$\begin{align}\frac{\partial L}{\partial q_k} &= \frac{\partial}{\partial q_k}\left[-\frac{K}{2}(q_k-q_{k-1})^2-\frac{K}{2}(q_{k+1}-q_k)^2\right] \\ &= -K(q_k-q_{k-1})+K(q_{k+1}-q_k)=K(q_{k+1}+q_{k-1}-2q_k)\end{align}$

Entonces, el eom para el $k$ -ésima partícula es

metro {\ddot{q}}_{k} = k (q_{k + 1} + q_{k - 1} - 2 q_{k})

$m\ddot{q}_k = K(q_{k+1}+q_{k-1}-2q_k)$

(obviamente por $1<k<N$ ).

Algunos comentarios

Tenga en cuenta que he cambiado intencionalmente el índice para la derivación de la eom $k$ con respecto al índice ficticio $n$ que aparece en el resumen. Esta es una muy buena práctica cuando se trabaja con notaciones de índice que pueden ayudarlo a evitar errores al realizar estos cálculos.

Si de alguna manera es nuevo en las notaciones de índice, le recomiendo que realice estos cálculos explícitamente para algunos $N$ (digamos, $N=3$ o $4$ ), expandiendo las sumas para ver realmente cómo funciona y convencerse de que el método es correcto.

Primero expandí las sumas, pero me equivoqué antes y dije 'no puedes hacer esto aquí por eso' suficientes veces para toda la vida, ya que las series han sido el tema más difícil para mí en mi graduación. Como no sabía cuándo usar, es decir, una expansión de Taylor, primero expandiría la suma y, si aún no podía obtenerla, la escribiría tal como está. Para este problema en particular, pensé "no, expandir parece demasiado simple".

Use la ecuación de Euler-Lagrange para encontrar las ecuaciones de movimiento

kira1985

dpravos

dpravos

kira1985

dpravos

Respuestas (1)

dpravos

kira1985

Invariancia de calibre lagrangiano L′=L+df(q,t)dtL′=L+df(q,t)dtL'=L+\frac{df(q,t)}{dt}

Ecuación de Euler-Lagrange con potencial logarítmico

Variar una acción (teoría de la perturbación cosmológica)

Derivación de ecuaciones de movimiento de supergravedad

¿Derivación lagrangiana de braquistocrona? [cerrado]

Tres masas en un círculo conectadas por resorte

¿Cómo probar este diferencial matricial para la teoría de Born-Infeld?

Necesito ayuda para crear el Lagrangiano para un péndulo acoplado [cerrado]

Derivada del invariante del tensor electromagnético FμνFμνFμνFμνF_{\mu\nu}F^{\mu\nu}

Derivación de las ecuaciones de Euler-Lagrange en la "Mecánica" de Landau y Lifshitz