Variación de la Acción bajo transformaciones arbitrarias infinitesimales y Teorema de Noether

Consideremos una transformación infinitesimal arbitraria de los campos y sus coordenadas:

$$x'^{\mu}= x^{\mu} + \delta x^{\mu} = x^{\mu} + \frac{\delta x^{\mu}}{\delta{\omega}^a}{\omega}^a\tag{1}$$

$${\Phi}'(x') = {\Phi}(x) + \delta\Phi= {\Phi}(x) + \frac{\delta\Phi}{\delta\omega^a}{\omega}^a\tag{2}$$

dónde${\{\omega}^a\}$es un conjunto de parámetros infinitesimales. La variación correspondiente de la Acción es:

$$\delta S= \delta (\int{dx \,\mathcal{L}[\Phi,\partial^{\mu}\Phi]})=\int{(dx \, \delta \mathcal{L}} +\mathcal{L}\,\delta dx)= \int{dx (\delta \mathcal{L}+\mathcal{L}\,\partial_{\mu}\delta x^{\mu})}\tag{3}$$

Ahora si

$$\delta=\delta_0 + \delta x^{\mu}\partial_{\mu},\tag{4}$$

dónde:

$\delta_0 \phi (x)=\phi'(x)-\phi(x)$a primer orden, entonces la variación se convierte en:

$$\delta S=\int{dx\,(\delta\mathcal{L}+\mathcal{L}\,\partial_{\mu}\delta x^{\mu})}=\int{dx(\delta_0\mathcal{L}+\delta x^{\mu}\partial_{\mu}\mathcal{L}+\mathcal{L}\,\partial_{\mu}\delta x^{\mu})}$$ $$=\int{dx\,(\delta_0\mathcal{L}+ \partial_\mu(\mathcal{L}\delta x^{\mu}))}=\int{dx\,(\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial{\Phi}}\delta_0\Phi}+\frac{\partial{\mathcal{L}}}{\partial[\partial_\mu\Phi]}\delta_0\partial_\mu\Phi+ \partial_\mu(\mathcal{L}\delta x^{\mu})).\tag{5}$$

Uso de las ecuaciones de Euler-Lagrange y desplazamientos$\delta_0$y$\partial$, la última integral se convierte en:

$$\delta S=\int{dx\,\partial_\mu(\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial[\partial_\mu\Phi]}\delta_0\Phi+\mathcal{L}\delta x^\mu)}.\tag{6}$$

Ahora volvemos a$\delta$de$\delta_0$:

$$\delta S =\int{dx\,\partial_\mu(\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial[\partial_\mu\Phi]}\delta\Phi-\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial[\partial_\mu\Phi]}\delta x^\nu\partial_\nu\Phi+\mathcal{L}\delta x^\mu)}\tag{7}$$

y finalmente:

$$\delta S =\int{dx\,\partial_\mu(\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial[\partial_\mu\Phi]}\delta\Phi-\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial[\partial_\mu\Phi]}\delta x^\nu\partial_\nu\Phi+\mathcal{L}\delta x^\mu)} \\ =\int{dx\,\partial_\mu[\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial[\partial_\mu\Phi]}\delta\Phi+(\mathcal{L}\delta^\mu_\nu-\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial[\partial_\mu\Phi]}\partial_\nu\Phi)\delta x^\nu]}\\ =\int{dx\,\partial_\mu\{[\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial[\partial_\mu\Phi]}\frac{\delta\Phi}{\delta\omega^a}+(\mathcal{L}\delta^\mu_\nu-\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial[\partial_\mu\Phi]}\partial_\nu\Phi)\frac{\delta x^\nu}{\delta\omega^a}]\delta\omega^a\}}.\tag{8}$$

Ahora definiendo:

$$j^{a\mu} = (\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial[\partial_\mu\Phi]}\partial_\nu\Phi-\mathcal{L}\delta^\mu_\nu)\frac{\delta x^\nu}{\delta\omega^a} - \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial[\partial_\mu\Phi]}\frac{\delta\Phi}{\delta\omega^a}\tag{9}$$

finalmente obtenemos:

$$\delta S = - \int{dx\,\partial_\mu(j^{a\mu}\delta\omega^a)}.\tag{10}$$

Supongamos por ahora que$\{\omega^a\}$son$x$-independiente, tal que:

$$\delta S = - \int{dx\,\partial_\mu(j^{a\mu})\delta\omega^a}.\tag{11}$$

1. Esta es mi primera pregunta: ¿necesito preguntar eso?$S$es invariante bajo mis transformaciones para obtener

   $$\partial_\mu\,j^{a\mu}=0~?\tag{12}$$ ¿O la transformación puede ser arbitraria dado que en todos los casos $$\delta S = 0\tag{13}$$ para todas las variaciones infinitesimales de los campos que satisfacen las ecuaciones dinámicas de Euler-Lagrange?

2. Luego viene mi segunda pregunta. Mi libro$^{(1)}$dice que, incluso sin tener en cuenta las ecuaciones EL, la variación de la acción bajo transformación infinitesimal arbitraria$(1),(2)$es:

   $$\delta S=-\int{dx\,j^{\mu a}\partial_{\mu}\omega^a}\tag{14}.$$ ahora no se como$(14)$podría derivarse sin tener en cuenta las ecuaciones EL porque si$j^{\mu a}$no tiene$\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\Phi}$términos es solo gracias a esas ecuaciones.

$^{(1)}$Philippe Di Francesco, Pierre Mathieu, David Sénéchal - Teoría conforme de campos, página 41.