Valores propios de cuerda pulsada/frecuencias armónicas: múltiplos enteros (o no)

¿Por qué pensarías$\omega_n=n{\omega_0}$o$\sqrt{n}\omega_0$?

El "número cuántico"$n$aquí hay impulso$k$ya que este es obviamente un sistema translacionalmente invariante. Con algunas transformaciones de Fourier, puedes obtener la energía$\omega_n=2\omega_0\sin(k)$, dónde$k=\pi/(2N)\cdot i$y$i=-N,\cdots,N$,$N$para el número total de sitios de celosía. Pequeñas desviaciones en$k$si el límite está abierto.

Esta dispersión concuerda con los valores propios de su matriz tridiagonal .

Las respuestas publicadas por expertos anteriores dejan las dos preguntas fundamentales sin respuesta:

1. ¿Por qué los valores propios de mi armónico uniforme, tridiagonal, simétrico (Toeplitz) no corresponden a las características conocidas de una cuerda de guitarra real?
2. ¿Por qué los valores propios de matrices progresivamente más grandes no convergen a la solución continua del análisis lagrangiano?

Se puede encontrar ayuda en "Transporte de pulso casi sin dispersión en cadenas de masa de resorte cuasi uniformes largas ..." R. Via, 2 de agosto de 2018. Consulte las ecuaciones (38)-(41).

Los valores propios de la matriz$(A)$definido en mi pregunta (como se señaló en las respuestas anteriores y confirmado en el documento de referencia) son:

$$\lambda_n = 2-2\cdot \cos(k_n)$$ dónde: $$k_n ≝ \left(\frac{ n\,\pi}{N+1}\right)$$ Entonces: $$\frac{\omega_n^2}{C^2}= 2-2 \cdot \cos \left(k_n\right)$$

$$\omega_n = C\, \sqrt { 2-2\cdot \cos( k_n ) } = 2\, C \cdot \sin { \left( \frac{k_n}{2} \right) } = 2 \, C \cdot \sin { \left(\frac{ n\cdot \pi}{2\cdot (N+1)}\right) }$$ Mi primera pregunta restante se responde con una oración clave en el documento de referencia:

Para$k\ll 1$(es decir$n\ll N$) ellos [los$\omega_n$] son ​​casi lineales en$k$e igualmente espaciados en$n$.

Para$n\ll N$

$$\sin { \left(\frac{ n\cdot \pi}{2\cdot (N+1)}\right) } \approx { \left(\frac{ n\cdot \pi}{2\cdot (N+1)}\right) }$$

Así que en este caso particular:

$$\omega_n \approx {\left(\frac{C\cdot \pi}{N+1}\right) n}$$

Pero como se indica en mi pregunta:

$$C ≝ \sqrt{\frac{T}{d\cdot m}}$$ Manteniendo la longitud de la cuerda como una constante$L$y la masa total de la cuerda como constante$M$: $$m = \frac{M}{N},\, d = \frac{M}{N+1}$$ para muy grande$N$, es decir, como la cadena de masas se convierte en una cuerda continua: $$C \approx \sqrt{\frac{T}{L\cdot M}}\cdot N$$ Ahora podemos definir: $$\omega_0 ≝\sqrt{\frac{T}{L\cdot M}}\cdot \frac{N}{N}\cdot \pi = \pi\,\sqrt{\frac{T}{L\cdot M}}$$ Finalmente: $$\omega_n \approx \omega_0 \cdot n,\, n=1,2,3\dots\text{integer}$$

que es la respuesta clásica y resuelve mi última pregunta pendiente.

$\newcommand{\bl}[1]{\boldsymbol{#1}} \newcommand{\e}{\bl=} \newcommand{\p}{\bl+} \newcommand{\m}{\bl-} \newcommand{\gr}{\bl>} \newcommand{\les}{\bl<} \newcommand{\greq}{\bl\ge} \newcommand{\leseq}{\bl\le} \newcommand{\plr}[1]{\left(#1\right)} \newcommand{\blr}[1]{\left[#1\right]} \newcommand{\lara}[1]{\langle#1\rangle} \newcommand{\lav}[1]{\langle#1|} \newcommand{\vra}[1]{|#1\rangle} \newcommand{\lavra}[2]{\langle#1|#2\rangle} \newcommand{\lavvra}[3]{\langle#1|\,#2\,|#3\rangle} \newcommand{\vp}{\vphantom{\dfrac{a}{b}}} \newcommand{\hp}[1]{\hphantom{#1}} \newcommand{\x}{\bl\times} \newcommand{\qqlraqq}{\qquad\bl{-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!\longrightarrow}\qquad} \newcommand{\qqLraqq}{\qquad\boldsymbol{\e\!\e\!\e\!\e\!\Longrightarrow}\qquad} \newcommand{\tl}[1]{\tag{#1}\label{#1}}$

Los resultados de OP son incorrectos. Más precisamente si

$$\begin{equation} \mathrm\Xi\e \begin{bmatrix} \hp\m 2&\m1&\hp\m 0&\cdots&\hp\m 0&\hp\m 0\hp\m\\ \m1 &\hp\m 2&\m1&\cdots&\hp\m 0&\hp\m 0\hp\m\\ \hp\m 0&\m1&\hp\m 2&\cdots&\hp\m 0 &\hp\m 0\hp\m\\ \hp\m\vdots &\hp\m\vdots &\hp\m\vdots&\cdots &\hp\m \vdots&\hp\m\vdots\hp\m\\ \hp\m 0&\hp\m 0&\hp\m 0&\cdots&\hp\m 2&\m1\hp\m\\ \hp\m 0&\hp\m 0&\hp\m 0&\cdots&\m1&\hp\m 2\hp\m \end{bmatrix} \tag{01}\label{01} \end{equation}$$ es un$\:n\times n\:$matriz de Toeplitz simétrica, sus valores propios no son los del OP $$\begin{equation} \lambda_\rho\e\rho\,, \qquad \rho\e1,2,3,\cdots n \qquad\qquad \texttt{(wrong)} \tag{02}\label{02} \end{equation}$$ pero $$\begin{equation} \xi_\rho\e 4\sin^{2}\blr{\rho\dfrac{\pi}{2\plr{n\p1}}}\e 2\Bigg(1\m\cos\left[ \rho\dfrac{\pi}{\plr{n\p1}} \right]\Bigg), \quad \rho\e 1,2,\cdots, n \tag{03}\label{03} \end{equation}$$

$\bl{=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!}$

Contraejemplo 1: Considere el$\:2\times 2\:$matriz de Toeplitz simétrica

$$\begin{equation} \mathrm\Xi\e \begin{bmatrix} \hp\m 2&\m1\hp\m\vp\\ \m1 &\hp\m 2\hp\m\vp \end{bmatrix} \tag{04}\label{04} \end{equation}$$ De acuerdo con los resultados de OP sus valores propios son $$\begin{equation} \lambda_1\e 1\,, \qquad \lambda_2\e 2 \qquad\qquad \texttt{(wrong)} \tag{05}\label{05} \end{equation}$$ en lugar de $$\begin{equation} \begin{split} \xi_1 & \e 4\sin^{2}\plr{\dfrac{\pi}{6}}\e 1 \\ \xi_2 & \e 4\sin^{2}\plr{\dfrac{\pi}{3}}\e 3 \end{split} \tag{06}\label{06} \end{equation}$$ de acuerdo con la ecuación $\eqref{03}$.

$\bl{=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!}$

Contraejemplo 2: Considere el$\:3\times 3\:$matriz de Toeplitz simétrica

$$\begin{equation} \mathrm\Xi\e \begin{bmatrix} \hp\m 2&\m1&\hp\m0\hp\m\vp\\ \m 1 &\hp\m 2&\m1\hp\m\vp\\ \hp\m 0 &\m 1&\hp\m 2\hp\m\vp \end{bmatrix} \tag{07}\label{07} \end{equation}$$ De acuerdo con los resultados de OP sus valores propios son $$\begin{equation} \lambda_1\e 1\,, \qquad \lambda_2\e 2\,, \qquad \lambda_3\e 3 \qquad\qquad \texttt{(wrong)} \tag{08}\label{08} \end{equation}$$ en lugar de $$\begin{equation} \begin{split} \xi_1 & \e 4\sin^{2}\plr{\,\dfrac{\pi}{8}\,}\e 2\Bigg[1\m\cos\left(\,\dfrac{\pi}{4}\,\right)\Bigg]\e 2\m\sqrt{2} \\ \xi_2 & \e 4\sin^{2}\plr{\,\dfrac{\pi}{4}\,}\e2\Bigg[1\m\cos\left(\,\dfrac{\pi}{2}\,\right)\Bigg]\e 2\\ \xi_3 & \e 4\sin^{2}\plr{\!\dfrac{3\pi}{8}\!}\e 2\Bigg[1\m\cos\left(\!\dfrac{3\pi}{4}\! \right)\!\Bigg]\e 2\p\sqrt{2} \\ \end{split} \tag{09}\label{09} \end{equation}$$ de acuerdo con la ecuación $\eqref{03}$.

Tenga en cuenta que

$$\begin{equation} \lambda_1\lambda_2\lambda_3\e 1\cdot 2 \cdot 3 \e 6 \bl\ne 4\e \det\plr{\mathrm\Xi} \tag{10}\label{10} \end{equation}$$ mientras $$\begin{equation} \xi_1\xi_2\xi_3\e \plr{2\m\sqrt{2}}\cdot 2\cdot\plr{2\p\sqrt{2}} \e 4\e \det\plr{\mathrm\Xi} \tag{11}\label{11} \end{equation}$$

Otro cheque es

$$\begin{equation} \sum\limits_{\rho\e 1}^{\rho\e n}\lambda_\rho\e\sum\limits_{\rho\e 1}^{\rho\e n}\rho\e\dfrac{n\plr{n\p1}}{2}\bl\ne 2n\e \texttt{Trace}\plr{\mathrm\Xi} \tag{12}\label{12} \end{equation}$$