¿Por qué se producen armónicos cuando tocas una cuerda?

Cuando sueltas la cuerda pulsada, su forma es momentáneamente triangular: atados en los extremos y apuntando a la ubicación de tu dedo. Pero las soluciones de la ecuación de onda no son funciones triangulares, sino funciones sinusoidales, cuyos desplazamientos desde el reposo obedecen

Hay un teorema de que puedes sumar todos estos buenos comportamientos$y_n(x)$y generar cualquier forma$y(x)$para la cadena real que desea. El tema se llama análisis de Fourier. Y eso es justo lo que sucede cuando sueltas la cuerda de tu guitarra. Desde la perspectiva de la cuerda, acabas de excitar un montón de modos diferentes con diferentes$n$, y todos comienzan a oscilar en sus propias frecuencias.

Vale la pena señalar que tienes cierto control sobre qué armónicos excitas eligiendo dónde pulsas la cuerda. Así es como los armónicos hasta$n=16$(cuatro octavas por encima de la fundamental) contribuyen a la forma de una cuerda de guitarra pulsada cerca del medio, cerca de la boca y cerca de la cejilla:

La forma del triángulo "exacta" está en azul; la excitación fundamental está en verde; la fundamental más primer armónico en rojo, luego cian, magneta, amarillo, etc. a medida que se incluyen más armónicos. Pulsar una cuerda de guitarra cerca de la tuerca (figura inferior) excita muchísimos armónicos más altos. Esto es algo que puedes escuchar en una guitarra: rasguear cerca de la cejilla produce un sonido áspero y apretado como "eeee". Por el contrario, si toca la cuerda de la guitarra muy cerca del centro de la cuerda, pone muy poca energía en los armónicos 1, 3 y 5, que tienen un nodo en el medio de la cuerda. Esto le da a las cuerdas una especie de sonido "oooo" más redondo. ¡Darle una oportunidad!

Cuando tocas una cuerda de guitarra, el potencial que aplicas a la cuerda es aproximadamente una función delta de Dirac . Es decir, la liberación de la cuerda es una patada casi instantánea. Una de las hermosas propiedades de la función delta es que su transformada de Fourier es la unidad. Esto significa que está formado por componentes iguales de todas las frecuencias. Entonces, cuando tocas la cuerda, excitas cada modo resonante por igual (en el límite de la función delta).

Lo que determina los diferentes sonidos de diferentes instrumentos es cuánto tiempo se puede sostener cada frecuencia resonante, es decir, la$Q$de cada modo resonante . Su segundo gráfico muestra estos diferentes$Q$valora muy bien. los$Q$es aproximadamente proporcional al ancho del pico en cada frecuencia donde un mayor$Q$valor significa un pico más estrecho y más alto. Modos resonantes con una extensión más amplia (menor$Q$) morirán más rápidamente a medida que transfieren energía a la estructura de soporte y calor en la cuerda.

Cuando tocas una cuerda, no comienza como lo fundamental anterior. La cuerda se tira en una forma doblada de dos líneas rectas y un ángulo y no se puede doblar en el medio.

Soltar la cuerda doblada provoca un montón de armónicos de varias amplitudes dependiendo de qué tan descentrada esté. (No puede volver a la forma de ángulo doblado y la energía tiene que ir a alguna parte). El resultado de esa forma son todos los armónicos y suena como una onda sinusoidal "rica" ​​de los armónicos extraños que dominan.

Una guitarra o un violín se puntean muy descentrados, por lo que se parece más a un diente de sierra y obtiene todos los armónicos, pares e impares, con un conjunto de amplitudes distintivo del instrumento.

Esto fue primero (?) Estudiado en detalle por un monje francés llamado Mersenne que usó cables largos y pesados ​​entre los postes de la cerca para obtener vibraciones lo suficientemente lentas como para contarlas.

La respuesta se puede derivar matemáticamente. Dejar$u(x,t)$denote el desplazamiento de un punto a lo largo de la cuerda en$x$en el momento$t$. La función obedece a la ecuación de onda en plano$d=2$espacio minkowski,

Si pellizcamos la cuerda en el medio, esto corresponde a una condición sobre la configuración de la cuerda en el tiempo inicial, es decir, determina$u(x,0)$:

Además, debemos imponer condiciones de contorno de Dirichlet ya que la cuerda está fija en cualquiera de los extremos, es decir

para garantizar el movimiento en$x=0,l$esta prohibido. Resolver la ecuación de onda a través de la serie de Fourier es tedioso pero fácil de hacer. Finalmente, obtenemos los armónicos de onda, cuyas imágenes están disponibles en el OP.

Un gráfico simple de la condición inicial.$u(x,0)$:

Podríamos especificar cualquier$u(x,0)=f(x)$, o resolver para una configuración general.

Un par de cosas juegan aquí. Primero, la cuerda está "cerrada" en ambos extremos, lo que significa que los extremos están bloqueados y no se pueden mover. Esto significa que cualquier longitud de onda resonante debe tener "nodos", que es una contracción de "sin desplazamiento", en los extremos. En comparación, las ondas acústicas en un tubo abierto pueden tener un nodo en un extremo, pero el otro extremo no tiene restricciones y podría ser un máximo. Luego, la "onda estacionaria" resonante para cada frecuencia es en realidad la combinación de ondas viajeras que se mueven en fase y en direcciones opuestas a lo largo de la cuerda. El armónico fundamental tiene un máximo a la mitad de la cuerda; el siguiente armónico tiene dos máximos de 1/4 y 3/4 de longitud más un nodo de 1/2 de longitud. Y así sucesivamente para todos los armónicos superiores. Tenga en cuenta que puede suprimir, por ejemplo, la fundamental colocando el dedo en el punto de 1/2 longitud para forzar un nodo allí. De hecho, esto suprimirá todos los armónicos impares que tienen un máximo de 1/2 mientras permite que los armónicos pares continúen propagándose.