Conmutador y orden de medida

Lo siento, pero el conmutador tiene relación directa con la posibilidad de mediciones simultáneas.

El operador autoadjunto observable se puede representar como una suma de proyectores ortogonales autoadjuntos en espacios propios.

$$\begin{equation} \hat{A}=\sum_k \lambda_k \mathcal{P}_{\lambda_k},\quad \hat{A}\mathcal{P}_{\lambda_k}|\psi\rangle=\lambda_k\mathcal{P}_{\lambda_k}|\psi\rangle,\quad \mathcal{P}_{\lambda_k}\mathcal{P}_{\lambda_m}=\delta_{km}\mathcal{P}_{\lambda_k},\quad \mathcal{P}_{\lambda_k}=\mathcal{P}_{\lambda_k}^\dagger \end{equation}$$ En particular, si todos los espacios propios son unidimensionales, podemos escribir $\mathcal{P}_{\lambda_k}=|\lambda_k\rangle\langle\lambda_k|$

La medida ideal en mecánica cuántica se define de la siguiente manera. si mides$A$y consigue que sea igual$\lambda_k$entonces el estado cambia por proyección en el espacio propio correspondiente,

$$\begin{equation} |\psi\rangle\mapsto \frac{1}{\sqrt{P_\psi(A=\lambda_k)}}\mathcal{P}_{\lambda_k}|\psi\rangle, \end{equation}$$ con probabilidad (en caso de espectro continuo - densidad de probabilidad) dada por, $$\begin{equation} P_\psi(A=\lambda_k)=\langle\psi|\mathcal{P}_{\lambda_k}^\dagger\mathcal{P}_{\lambda_k}|\psi\rangle=\langle\psi|\mathcal{P}_{\lambda_k}|\psi\rangle \end{equation}$$ Cuando aplicas esto a dos medidas consecutivas de dos observables $A$y $B$Sucede que no puedes definir medidas simultáneas sin especificar el orden en el que mides. Eso es porque, en general, $$\begin{equation} \langle\psi|\mathcal{P}_{A=\lambda_k}^\dagger\mathcal{P}_{B=\mu_m}^\dagger\mathcal{P}_{B=\mu_m}\mathcal{P}_{A=\lambda_k}|\psi\rangle\neq \langle\psi|\mathcal{P}_{B=\mu_m}^\dagger\mathcal{P}_{A=\lambda_k}^\dagger\mathcal{P}_{A=\lambda_k}\mathcal{P}_{B=\mu_m}|\psi\rangle \end{equation}$$

La única excepción es cuando los observables se desplazan. Eso se debe a la diagonalizabilidad simultánea: el espacio de Hilbert resulta ser una suma directa de espacios propios$(\lambda_k,\mu_m)$donde todos los estados son simultáneamente estados propios de$A$y$B$. De ahí se sigue que$[\mathcal{P}_{\lambda_k},\mathcal{P}_{\mu_m}]=0$y puede definir mediciones simultáneas de$A$y$B$sin preocuparse por su orden.

Acabo de darme cuenta de por qué la aplicación de un operador no es una medida. Permítanme actualizar mi respuesta en consecuencia.

Un axioma de la mecánica cuántica es que una medida llevará un estado a un estado propio del operador correspondiente. Si dos operadores viajan,$[A, B] = 0$, entonces se puede encontrar una base tal que ambos operadores sean diagonales en ella. Por lo tanto, los estados pueden ser estados propios de ambos operadores al mismo tiempo.

Sin embargo, la simple aplicación de un operador a un estado no colapsa la función de onda. Así que toma el oscilador armónico con estados propios$|n\rangle$como ejemplo. mi operador es$\hat n$, el operador de número de ocupación. Cuando tomo un estado que no es un estado propio, como$|\psi\rangle = |1\rangle + |2\rangle$, aplicando el operador me dará lo siguiente:

$$\hat n |\psi\rangle = \hat n|1\rangle + \hat n|2\rangle = |1\rangle + 2 |2\rangle \,.$$ Esto no es ni proporcional al estado original, ni un estado propio puro de $\hat n$. Si se iba a realizar una medición real, entonces, según los axiomas de la mecánica cuántica, tendría que ser un estado propio puro de $\hat n$. Tendríamos un 50% de posibilidades de que tuviéramos $n = 1$o $n = 2$fuera de la medida. El sistema estaría entonces en $|1\rangle$o $|2\rangle$pero ya no es una combinación lineal.

Por tanto la simple aplicación de un operador hermitiano, que es un observable, no es una medida. También se necesita el colapso de la función de onda a un estado propio puro del operador. Y esto es lo que falta cuando se aplica el conmutador a un estado.