Supongamos que tenemos un sistema mecánico cuántico, que está bien descrito por su función de onda en representación r . Estamos interesados en las propiedades de un observable, digamos la energía cinética. . Así que dejamos que el operador de energía cinética actúe sobre la función de onda, multiplicamos el resultado por Psi e integramos sobre coordenadas espaciales. Así obtenemos el valor esperado . Notemos que este resultado es una propiedad del operador y también del estado cuántico.
Ahora, en los libros de texto de QM, a menudo se encontrarán discusiones detalladas del resultado, para proporcionar significado físico y contexto. Por ejemplo, al discutir la energía cinética del estado fundamental de un átomo de hidrógeno, se señala que la energía cinética está íntimamente relacionado --a través de la ecuación de Schroedinger-- con el potencial electrostático y la energía total . Ambos y son operadores que son multiplicativos en -representación. Entonces (que en esencia está representado por el operador diferencial de Laplace), cuando se escribe como - , puede considerarse como multiplicativo. Así obtenemos (con la energía en unidades de energía de Rydberg y la distancia en unidades de radio de Bohr):
Este resultado se analiza luego en términos del "punto de inflexión clásico". . La región está prohibido en la física clásica, ya que la energía cinética es aquí negativa. Sin embargo, en QM hay una probabilidad distinta de cero de que el electrón se encuentre en .
Me pregunto cuánta "verdad" hay en la fórmula anterior para . Es sugerente considerarlo como una función propia de la distancia al núcleo. . Sin embargo, tan pronto como uno profundiza un poco más, surgen conflictos. Por ejemplo, se puede calcular la transformada de Fourier de la función de onda. Ahora, dado que la función de onda inicial era esféricamente simétrica, también lo es la FT. Por lo tanto en solo hay estados con factor de onda positivo . ¡Simplemente no hay lugar para las energías cinéticas negativas! De modo que inmediatamente surge una paradoja cuando consideramos la energía cinética como una distribución en - o -representación.
Además, se pueden observar los momentos superiores del operador de energía cinética. Esto conduce a nuevos problemas. Por ejemplo, el segundo momento se puede calcular como , o como [proporcionó es autoadjunto cuando actúa sobre estas funciones de onda]. Por supuesto, es satisfactorio que estas dos representaciones integrales conduzcan al mismo resultado neto. ¡Sin embargo, sus integrandos son obviamente diferentes! Por lo tanto, si la energía cinética se distribuye dentro del estado, no se puede precisar sin cierto nivel de ambigüedad.
¡Me gustaría escuchar sus comentarios sobre este tema!
Creo que lo único basado en que puede decirse satisfactoriamente que está distribuida en el espacio es la probabilidad de configuración. Su densidad en el espacio de configuración es
Expresión puede parecer densidad de energía cinética, pero esto es inconsistente con la idea básica de que la energía cinética siempre es positiva (ya que está dada por el cuadrado del momento real). Este problema se puede resolver postulando como densidad de energía cinética (da el mismo promedio), pero no hay confirmación experimental para tal relación, por lo que es bastante especulativa (sin embargo, se podría intentar usarla para interpretar algunos resultados de la teoría cuántica).
Quillo