Valor esperado en la segunda cuantificación

Question

Valor esperado en la segunda cuantificación

Física
operadores
mecánica cuántica
segunda cuantización

Merlín1896

Estoy atascado calculando un valor esperado simple para un operador, que se expresa en una segunda cuantización. Conozco el resultado, pero no puedo demostrarlo.

Digamos que tengo una función de onda de una partícula $|\phi_n\rangle$ dada por $|\phi_n\rangle=\sum_{j=1}^K |\alpha_j\rangle A_{j,n}$ , dónde $K$ es el número de orbitales/sitios en el sistema y el $A_{j,n}$ son las amplitudes de probabilidad de los orbitales $|\alpha_j\rangle$ . El índice $n$ etiqueta las partículas en el sistema, de las cuales tenemos $N$ .

Los orbitales son ortonormales, es decir

\sum_{j} A_{j, metro}^{*} A_{j, norte} = d_{metro, norte} .

$\sum_j A_{j,m}^* A_{j,n} = \delta_{m,n}.$

Ignoremos cualquier grado de libertad de espín. La función de onda de muchas partículas viene dada ahora por

| Ψ ⟩ = (\prod_{norte = 1}^{norte} \sum_{j = 1}^{k} {\hat{C}}_{j}^{†} A_{j, norte}) | vacaciones ⟩,

$|\Psi\rangle = \left(\prod_{n=1}^N \sum_{j=1}^K \hat{c}^\dagger_j A_{j,n}\right) |\text{vac}\rangle,$ donde el

{\hat{c}}_{j}^{†}

$\hat{c}^\dagger_j$ es el operador de creación habitual en el sitio

j

$j$ .

Lo que ahora quiero calcular es el valor esperado.

⟨ Ψ | H_{brincar} | Ψ ⟩

$\langle \Psi|H_\text{hop}|\Psi\rangle$ con

H_{brincar} = - t \sum_{j = 1}^{k} {\hat{C}}_{j + 1}^{†} {\hat{C}}_{j} + h . C .

$H_\text{hop}=-t \sum_{j=1}^K \hat{c}^\dagger_{j+1}\hat{c}_j + h.c.$ el hamiltoniano de salto habitual. Tengo la fuerte sensación (y un cálculo de ejemplo lo apoyó) de que el resultado es simplemente

⟨ Ψ | H_{brincar} | Ψ ⟩ = - t \sum_{norte = 1}^{norte} \sum_{j = 1}^{k} (A_{j, norte}^{*} A_{j + 1, norte} + A_{j + 1, norte}^{*} A_{j, norte})

$\langle \Psi|H_\text{hop}|\Psi\rangle = -t \sum_{n=1}^N \sum_{j=1}^K ( A_{j,n}^* A_{j+1,n} + A_{j+1,n}^* A_{j,n} )$

Creo que este resultado está trivialmente relacionado con las reglas de Slater-Condon, pero no veo la conexión. Además, no calculo explícitamente el valor esperado, que contiene la suma y los productos de los operadores de creación/aniquilación.

¿Cuál es una buena manera de probar mi resultado?

udv

Sugerencia: use los CCR-s asociados con el

{\hat{c}}_{j}

${\hat c}_j$ -s. ¿Su cálculo de muestra ya no sugiere algo como esto?

Merlín1896

Bueno, apuesto a que tengo que usar las relaciones de conmutación en algún momento. Pero realmente no veo cómo puedo llegar al resultado general. Como el producto escalar es lineal, seguramente es suficiente considerar solo un término de

H_{hop}

$H_\text{hop}$ , así que tal vez uno pueda configurar wlog

j = 1

$j=1$ . Pero entonces todavía tengo un montón de

{\hat{c}}^{†}

$\hat{c}^\dagger$ desde el

| Ψ ⟩

$|\Psi\rangle$ (Determinantes de Slater). ¿Cómo procedo?

Respuestas (1)

Valor esperado en la segunda cuantificación

Sugerencia: use los CCR-s asociados con el ${\hat c}_j$ -s. ¿Su cálculo de muestra ya no sugiere algo como esto?
Bueno, apuesto a que tengo que usar las relaciones de conmutación en algún momento. Pero realmente no veo cómo puedo llegar al resultado general. Como el producto escalar es lineal, seguramente es suficiente considerar solo un término de $H_\text{hop}$ , así que tal vez uno pueda configurar wlog $j=1$ . Pero entonces todavía tengo un montón de $\hat{c}^\dagger$ desde el $|\Psi\rangle$ (Determinantes de Slater). ¿Cómo procedo?

udv · Answer 1

Para conveniencia futura, indique

{\hat{ϕ}}_{norte}^{†} = \sum_{j} A_{j, norte} {\hat{C}}_{j}^{†}

${\hat \phi}^\dagger_n = \sum_j{A_{j,n} {\hat c}^\dagger_j}$

{\hat{x}}_{norte}^{†} = \sum_{j} A_{j, norte} {\hat{C}}_{j + 1}^{†}

${\hat \chi}^\dagger_n = \sum_j{A_{j,n} {\hat c}^\dagger_{j+1}}$ El promedio que desea calcular lee entonces

⟨ Ψ | {\hat{H}}_{0} | Ψ ⟩ = - t ⟨ 0 | \prod_{norte} {\hat{ϕ}}_{norte} (\sum_{j} {\hat{C}}_{j + 1}^{†} {\hat{C}}_{j}) \prod_{norte} {\hat{ϕ}}_{norte}^{†} | 0 ⟩

$\langle \Psi | {\hat H}_0| \Psi \rangle = - t\;\langle 0 | \prod_n{{\hat \phi}_n} \left(\sum_j{{\hat c}^\dagger_{j+1}{\hat c}_j} \right)\prod_n{{\hat \phi}^\dagger_n} |0\rangle$ Comenzando con los CCR-s regulares,

{[{\hat{C}}_{j}, {\hat{C}}_{k}^{†}]}_{\mp} = d_{j k}, {[{\hat{C}}_{j}, {\hat{C}}_{k}]}_{\mp} = {[{\hat{C}}_{j}^{†}, {\hat{C}}_{k}^{†}]}_{\mp} = 0

$\left[ {\hat c}_j, {\hat c}^\dagger_k \right]_\mp = \delta_{jk},\;\;\;\;\; \left[ {\hat c}_j, {\hat c}_k\right]_\mp = \left[ {\hat c}^\dagger_j, {\hat c}^\dagger_k\right]_\mp = 0$ obtener

[\sum_{j} {\hat{C}}_{j + 1}^{†} {\hat{C}}_{j}, {\hat{ϕ}}_{norte}^{†}] = {\hat{x}}_{norte}^{†}

$\left[ \sum_j{{\hat c}^\dagger_{j+1}{\hat c}_j}, {\hat \phi}^\dagger_n\right] = {\hat \chi}^\dagger_n$ y

{\hat{ϕ}}_{norte}^{†} {\hat{x}}_{metro}^{†} = \pm {\hat{x}}_{metro}^{†} {\hat{ϕ}}_{norte}^{†}

${\hat \phi}^\dagger_n {\hat \chi}^\dagger_m = \pm {\hat \chi}^\dagger_m {\hat \phi}^\dagger_n$

{\hat{ϕ}}_{norte} {\hat{x}}_{metro}^{†} = \pm {\hat{x}}_{metro}^{†} {\hat{ϕ}}_{norte} + \sum_{j} A_{j + 1, norte}^{*} A_{j, metro}

${\hat \phi}_n {\hat \chi}^\dagger_m = \pm {\hat \chi}^\dagger_m {\hat \phi}_n + \sum_j{A^*_{j+1, n}A_{j,m}}$ Ahora, en el promedio que necesita calcular, use lo anterior para mover sucesivamente

(\sum_{j} {\hat{c}}_{j + 1}^{†} {\hat{c}}_{j})

$\left(\sum_j{{\hat c}^\dagger_{j+1}{\hat c}_j} \right)$ más allá de los operadores orbitales a su derecha:

(\sum_{j} {\hat{C}}_{j + 1}^{†} {\hat{C}}_{j}) \prod_{norte} {\hat{ϕ}}_{norte}^{†} = {\hat{ϕ}}_{1}^{†} (\sum_{j} {\hat{C}}_{j + 1}^{†} {\hat{C}}_{j}) \prod_{norte > 1} {\hat{ϕ}}_{norte}^{†} + {\hat{x}}_{1}^{†} \prod_{norte \neq 1} {\hat{ϕ}}_{norte}^{†} =

$\left(\sum_j{{\hat c}^\dagger_{j+1}{\hat c}_j} \right)\prod_n{{\hat \phi}^\dagger_n} = {\hat \phi}^\dagger_1 \left(\sum_j{{\hat c}^\dagger_{j+1}{\hat c}_j} \right) \prod_{n>1}{{\hat \phi}^\dagger_n} + {\hat \chi}^\dagger_1 \prod_{n\neq 1} {{\hat \phi}^\dagger_n} =$

= \prod_{metro = 1}^{metro = 2} {\hat{ϕ}}_{metro}^{†} (\sum_{j} {\hat{C}}_{j + 1}^{†} {\hat{C}}_{j}) \prod_{norte > 2} {\hat{ϕ}}_{norte}^{†} + {\hat{x}}_{1}^{†} \prod_{norte \neq 1} {\hat{ϕ}}_{norte}^{†} + {\hat{ϕ}}_{1}^{†} {\hat{x}}_{2}^{†} \prod_{norte > 2} {\hat{ϕ}}_{norte}^{†} =

$= \prod_{m=1}^{m=2} {{\hat \phi}^\dagger_m} \left(\sum_j{{\hat c}^\dagger_{j+1}{\hat c}_j} \right) \prod_{n>2}{{\hat \phi}^\dagger_n} + {\hat \chi}^\dagger_1 \prod_{n\neq 1} {{\hat \phi}^\dagger_n} + {\hat \phi}^\dagger_1 {\hat \chi}^\dagger_2 \prod_{n > 2} {{\hat \phi}^\dagger_n} =$

= \prod_{metro = 1}^{metro = 2} {\hat{ϕ}}_{metro}^{†} (\sum_{j} {\hat{C}}_{j + 1}^{†} {\hat{C}}_{j}) \prod_{norte > 2} {\hat{ϕ}}_{norte}^{†} + {\hat{x}}_{1}^{†} \prod_{norte \neq 1} {\hat{ϕ}}_{norte}^{†} \pm {\hat{x}}_{2}^{†} \prod_{norte \neq 2} {\hat{ϕ}}_{norte}^{†} = \dots =

$= \prod_{m=1}^{m=2} {\hat \phi}^\dagger_m \left(\sum_j{{\hat c}^\dagger_{j+1}{\hat c}_j} \right) \prod_{n>2}{{\hat \phi}^\dagger_n} + {\hat \chi}^\dagger_1 \prod_{n\neq 1} {{\hat \phi}^\dagger_n} \pm {\hat \chi}^\dagger_2 \prod_{n \neq 2} {{\hat \phi}^\dagger_n} = \dots =$

= \prod_{metro} {\hat{ϕ}}_{metro}^{†} (\sum_{j} {\hat{C}}_{j + 1}^{†} {\hat{C}}_{j}) + \sum_{metro} (\pm 1)^{metro - 1} {\hat{x}}_{metro}^{†} \prod_{norte \neq metro} {\hat{ϕ}}_{norte}^{†}

$= \prod_m {{\hat \phi}^\dagger_m} \left(\sum_j{{\hat c}^\dagger_{j+1}{\hat c}_j} \right) + \sum_m{ (\pm 1)^{m-1} {\hat \chi}^\dagger_m \prod_{n \neq m} {{\hat \phi}^\dagger_n}}$ El primer término aniquilará el vacío rhs, por lo que solo queda la suma. Ahora traiga los operadores orbitales a la izquierda y voltee cada uno

{\hat{χ}}_{m}^{†}

${\hat \chi}^\dagger_m$ pasarlos:

(\prod_{norte} {\hat{ϕ}}_{norte}) {\hat{x}}_{metro}^{†} = \pm (\prod_{norte > 1} {\hat{ϕ}}_{norte}) {\hat{x}}_{metro}^{†} {\hat{ϕ}}_{1} + (\prod_{norte \neq 1} {\hat{ϕ}}_{norte}) \sum_{j} A_{j + 1, 1}^{*} A_{j, metro} =

$\left(\prod_n{{\hat \phi}_n}\right) {\hat \chi}^\dagger_m = \pm \left(\prod_{n>1}{{\hat \phi}_n}\right) {\hat \chi}^\dagger_m {\hat \phi}_1 + \left(\prod_{n\neq 1}{{\hat \phi}_n}\right) \sum_j{A^*_{j+1, 1}A_{j,m}} =$

(\prod_{norte > 1} {\hat{ϕ}}_{norte}) {\hat{x}}_{metro}^{†} \prod_{yo = 1}^{yo = 2} {\hat{ϕ}}_{yo} + (\prod_{norte \neq 1} {\hat{ϕ}}_{norte}) \sum_{j} A_{j + 1, 1}^{*} A_{j, metro} \pm (\prod_{norte \neq 2} {\hat{ϕ}}_{norte}) \sum_{j} A_{j + 1, 2}^{*} A_{j, metro} = \dots =

$\left(\prod_{n>1}{{\hat \phi}_n}\right) {\hat \chi}^\dagger_m \prod_{l=1}^{l=2} {{\hat \phi}_l} + \left(\prod_{n\neq 1}{{\hat \phi}_n}\right) \sum_j{A^*_{j+1, 1}A_{j,m}} \pm \left(\prod_{n\neq 2}{{\hat \phi}_n}\right)\sum_j{A^*_{j+1, 2}A_{j,m}} = \dots =$

= {\hat{x}}_{metro}^{†} (\prod_{norte} {\hat{ϕ}}_{norte}) + \sum_{yo} (\pm 1)^{yo - 1} (\prod_{norte \neq yo} {\hat{ϕ}}_{norte}) \sum_{j} A_{j + 1, yo}^{*} A_{j, metro}

$= {\hat \chi}^\dagger_m \left(\prod_n{{\hat \phi}_n}\right) + \sum_l{(\pm 1)^{l-1}\left(\prod_{n\neq l}{{\hat \phi}_n}\right) \sum_j{A^*_{j+1, l}A_{j,m}} }$ El primer término ahora aniquila el vacío de lhs, y después de sustituir todo, el promedio deseado se convierte en

⟨ Ψ | {\hat{H}}_{0} | Ψ ⟩ = - t \sum_{j, yo, metro} (\pm 1)^{metro - 1} (\pm 1)^{yo - 1} A_{j + 1, yo}^{*} A_{j, metro} ⟨ 0 | (\prod_{norte \neq yo} {\hat{ϕ}}_{norte}) (\prod_{{norte}^{'} \neq metro} {\hat{ϕ}}_{{norte}^{'}}^{†}) | 0 ⟩ =

$\langle \Psi | {\hat H}_0| \Psi \rangle = - t\;\sum_{j, l,m}{ (\pm 1)^{m-1} (\pm 1)^{l-1} A^*_{j+1, l}A_{j,m} \langle 0 |\left(\prod_{n\neq l}{{\hat \phi}_n}\right)\left( \prod_{n' \neq m} {{\hat \phi}^\dagger_{n'}}\right) |0\rangle } =$

⟨ Ψ | {\hat{H}}_{0} | Ψ ⟩ = - t \sum_{j, yo, metro} (\pm 1)^{metro - 1} (\pm 1)^{yo - 1} A_{j + 1, yo}^{*} A_{j, metro} d_{yo, metro}

$\langle \Psi | {\hat H}_0| \Psi \rangle = - t\;\sum_{j, l,m}{ (\pm 1)^{m-1} (\pm 1)^{l-1} A^*_{j+1, l}A_{j,m}\delta_{l,m} }$ y finalmente

⟨ Ψ | {\hat{H}}_{0} | Ψ ⟩ = - t \sum_{j, metro} A_{j + 1, metro}^{*} A_{j, metro}

$\langle \Psi | {\hat H}_0| \Psi \rangle = - t\;\sum_{j, m}{ A^*_{j+1, m}A_{j,m} }$ Puede haber algunos errores que me perdí, pero esta es la idea general.

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Merlín1896

udv

Merlín1896

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udv

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