¿Cuál es el significado de la segunda función de onda cuantizada, en realidad?

Question

¿Cuál es el significado de la segunda función de onda cuantizada, en realidad?

akemi homura

Según lo que he leído, la segunda cuantificación provino originalmente del esfuerzo por cuantificar la función de onda de muchos cuerpos en la ecuación de Schrödinger.

Podríamos escribir la relación de conmutación de $\psi$ y $\psi^{\dagger}$ aplicando primero

| ψ (t) ⟩ = \sum_{norte} ψ_{norte} (t) | norte ⟩

$|\psi(t)\rangle = \sum_n \psi_n(t) |n\rangle$

a la ecuación de Schrödinger

H | ψ (t) ⟩ = i ℏ \partial_{t} | ψ (t) ⟩

$H|\psi(t)\rangle=i\hbar \partial_t |\psi(t)\rangle$

⟨ norte | H | ψ (t) ⟩ = \sum_{metro} ψ_{metro} (t) ⟨ norte | H | metro ⟩ = i ℏ {\dot{ψ}}_{norte} (t)

$\langle n|H| \psi(t) \rangle = \sum_m \psi_m(t) \langle n|H|m \rangle = i\hbar \dot \psi_n(t)$

Luego considere el hamiltoniano como un funcional de $\psi$ y $\psi^{*}$ , eso es

H (ψ, ψ^{*}) = ⟨ H ⟩ = ⟨ ψ | H | ψ ⟩ = \sum_{metro, norte} ⟨ ψ | metro ⟩ ⟨ metro | H | norte ⟩ ⟨ norte | ψ ⟩ = \sum_{metro, norte} ψ_{metro}^{*} ψ_{norte} ⟨ metro | H | norte ⟩

$H(\psi,\psi^*)=\langle H\rangle = \langle\psi|H|\psi\rangle = \sum_{m,n} \langle\psi| m \rangle \langle m|H|n \rangle \langle n|\psi \rangle = \sum_{m,n} \psi_m^* \psi_n \langle m|H|n \rangle$

Por lo tanto, al hacer diferenciales parciales en $H$ con respecto a $\psi$ y $\psi^*$ , obtenemos

\dot{ψ_{metro}} = \frac{\partial H}{\partial (i ℏ ψ_{metro}^{*})}

$\dot{\psi_m} = \frac{\partial H}{\partial (i\hbar \psi_m^*)}$

i ℏ \dot{ψ_{metro}^{*}} = - \frac{\partial H}{\partial ψ_{metro}}

$i\hbar\dot{\psi_m^*} = -\frac{\partial H}{\partial \psi_m}$

Tiene la misma forma que las ecuaciones de Hamilton. Por lo tanto, en cuanto a $\psi$ como operador, podemos identificar $\hat\psi_n \rightarrow \hat q_n$ y $i\hbar \hat\psi_n^\dagger \rightarrow \hat p_n$ .

La relación de conmutación entre $\hat\psi$ y su conjugado es entonces

[\hat{ψ}, {\hat{ψ}}^{†}] = 1

$[\hat\psi,\hat\psi^\dagger] = 1$

Sin embargo, todavía no puedo ver realmente lo que el operador $\hat\psi$ en realidad lo hace.

He visto en muchos libros de texto y notas de clase que $\hat\psi$ es un operador que aniquila una partícula de la función de onda de muchos cuerpos. ¿Porqué es eso?

wcc

Ayudaría a agregar el sombrero

\^

$\^$ firmar a sus operadores, para que podamos distinguir fácilmente qué

ψ

$\psi$ es un operador, que

ψ

$\psi$ es una etiqueta para un sostén o un ket y cuál es solo un número complejo.

wcc

Un ejemplo: Si

{\hat{ψ}}_{k} (r)

$\hat{\psi}_k (r)$ es un operador de aniquilación en la posición

r

$r$ asociado con onda plana con vector de onda

k

$k$ , entonces

⟨ 0 | {\hat{ψ}}_{k} (r) | k ⟩ = e^{i k r}

$\langle 0|\hat{\psi}_k (r)|k\rangle = e^{ikr}$ , dónde

| 0 ⟩

$|0\rangle$ es el vacío y

| k ⟩

$|k\rangle$ es un estado propio de impulso con vector de onda

k

$k$ .

akemi homura

@IamAStudent Gracias por la sugerencia, he corregido los operadores con sombrero. En tu ejemplo, todavía no entiendo cómo obtienes la expresión

⟨ 0 | {\hat{ψ}}_{k} (r) | k ⟩ = e^{i k r}

$\langle 0|\hat{\psi}_k (r)|k\rangle = e^{ikr}$ si

{\hat{ψ}}_{k} (r)

$\hat{\psi}_k (r)$ se define por lo que dijiste. Sin embargo, si

{\hat{ψ}}_{k} (r)

$\hat{\psi}_k (r)$ es solo un operador de aniquilación que aniquila la partícula "localizada" en el espacio de posición en

r

$r$ , Puedo ver eso

⟨ 0 | {\hat{ψ}}_{k} (r)

$\langle 0|\hat{\psi}_k (r)$ es básicamente

⟨ r |

$\langle r|$ y la expresión anterior es solo una solución de onda plana en la base de posición.

akemi homura

@IamAStudent Por cierto, ¿podría decirme por qué la acción de

\hat{ψ} (r)

$\hat{\psi}(r)$ es aniquilar la partícula localizada en

r

$r$ ?

Respuestas (1)

¿Cuál es el significado de la segunda función de onda cuantizada, en realidad?

Ayudaría a agregar el sombrero $\^$ firmar a sus operadores, para que podamos distinguir fácilmente qué $\psi$ es un operador, que $\psi$ es una etiqueta para un sostén o un ket y cuál es solo un número complejo.
Un ejemplo: Si $\hat{\psi}_k (r)$ es un operador de aniquilación en la posición $r$ asociado con onda plana con vector de onda $k$ , entonces $\langle 0|\hat{\psi}_k (r)|k\rangle = e^{ikr}$ , dónde $|0\rangle$ es el vacío y $|k\rangle$ es un estado propio de impulso con vector de onda $k$ .
@IamAStudent Gracias por la sugerencia, he corregido los operadores con sombrero. En tu ejemplo, todavía no entiendo cómo obtienes la expresión $\langle 0|\hat{\psi}_k (r)|k\rangle = e^{ikr}$ si $\hat{\psi}_k (r)$ se define por lo que dijiste. Sin embargo, si $\hat{\psi}_k (r)$ es solo un operador de aniquilación que aniquila la partícula "localizada" en el espacio de posición en $r$ , Puedo ver eso $\langle 0|\hat{\psi}_k (r)$ es básicamente $\langle r|$ y la expresión anterior es solo una solución de onda plana en la base de posición.
@IamAStudent Por cierto, ¿podría decirme por qué la acción de $\hat{\psi}(r)$ es aniquilar la partícula localizada en $r$ ?

Oktay Dogangün · Answer 1

La segunda cuantización está construyendo un campo de operadores a partir de infinitos primeros osciladores armónicos cuantizados, cada uno colocado en una posición. Un campo de osciladores armónicos cuánticos...

Volviendo a la primera cuantización, tienes operadores de aniquilación y creación que actúan en el espacio de momento. Dejar $| 0 \rangle$ Sea el estado de vacío, por lo que cualquier estado propio de impulso de una sola partícula viene dado por lo siguiente:

\begin{matrix} (1) & | pag ⟩ = {\hat{a}}^{†} (pag) | 0 ⟩ \end{matrix}

$\tag{1} | p \rangle = \hat{a}^\dagger (p) \, | 0 \rangle$ dónde

{\hat{a}}^{†} (p)

$\hat{a}^\dagger (p)$ crea un modo con impulso

p

$p$ . Esta es la buena primera cuantificación.

Por otro lado, podemos escribir el estado propio de posición, que es la transformada de Fourier del estado propio de cantidad de movimiento, en términos de (1), de la siguiente manera:

\begin{aligned} (2) & | X ⟩ & = \int d pag ψ^{†} (X) | pag ⟩ \end{aligned}

$\begin{align} \tag{2} | x \rangle &= \int dp \; \psi^\dagger (x) \;| p \rangle \\ \end{align}$ dónde

ψ^{†} (x) = ⟨ p | x ⟩

$\psi^\dagger (x) =\langle p|x \rangle$ es la función de onda (omito los factores de normalización). Ahora sustituyamos (1) aquí.

\begin{aligned} (2) & | X ⟩ & = \int d pag ψ^{†} (X) {\hat{a}}^{†} (pag) | 0 ⟩ \end{aligned}

$\begin{align} \tag{2} | x \rangle &= \int dp \; \psi^\dagger (x) \;\hat{a}^\dagger (p) \, | 0 \rangle \\ \end{align}$ Ahora, la expresión,

ψ^{†} (x) {\hat{a}}^{†} (p)

$\psi^\dagger (x) \;\hat{a}^\dagger (p)$ , es como un término en una suma ponderada, donde la suma corresponde a la integral sobre el espacio de cantidad de movimiento.

Intuitivamente, podemos pensar esto como cada partícula en la posición, $x$ , se crea como un paquete de oscilación con todos los valores de impulso superpuestos con el peso, $\psi^\dagger(x)$ . Entonces, considerando todas las posiciones, tenemos un campo de osciladores superpuestos con todos los valores de momento posibles . Podemos escribir este campo explícitamente.

Entonces, el operador de campo , $\hat{\Psi}^\dagger (x)$ , es un operador de creación en la posición $x$ tal que,

\begin{aligned} (3) & | X ⟩ & = {\hat{Ψ}}^{†} (X) | 0 ⟩ \end{aligned}

$\begin{align} \tag{3} | x \rangle &= \hat{\Psi}^\dagger (x) \, | 0 \rangle \\ \end{align}$ dónde

\begin{aligned} (4) & {\hat{Ψ}}^{†} (X) = \int d pag ψ^{†} (X) {\hat{a}}^{†} (pag) \end{aligned}

$\begin{align} \tag{4} \hat{\Psi}^\dagger (x) = \int dp \; \psi^\dagger (x) \;\hat{a}^\dagger (p) \end{align}$ Entonces, (3) dice que una partícula en la posición

x

$x$ es la creación de la superposición de infinitos osciladores en el estado de vacío, y el operador de campo es esa operación para cada

x

$x$ . Puede ver que el operador de campo,

{\hat{Ψ}}^{†} (x)

$\hat{\Psi}^\dagger (x)$ , es un operador de creación de partículas porque es básicamente la transformada de Fourier del operador de creación de escalera,

{\hat{a}}^{†} (p)

$\hat{a}^\dagger (p)$ .

Esta es la construcción intuitiva de la segunda cuantización canónica. Ahora, desde aquí, se pueden comprobar las relaciones de conmutación de los campos y sus momentos conjugados, utilizando las relaciones de conmutación de los operadores de escalera. Otros detalles relacionados con la rigurosa correspondencia matemática y física se pueden lograr uno por uno.

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