¿Cómo se define exactamente el "operador de orden normal"?

Question

¿Cómo se define exactamente el "operador de orden normal"?

parker

(En esta pregunta, solo estoy hablando de la versión de segunda cuantización del pedido normal, no de la versión CFT).

La mayoría de las fuentes (por ejemplo, Wikipedia ) definen muy rápidamente el orden normal como "reordenar todos los operadores de escalera para que todos los operadores de creación estén a la izquierda de todos los operadores de aniquilación". Esta definición es extremadamente vaga y quiero asegurarme de que entiendo la definición real.

Si entiendo correctamente, la gente usa la frase "operador de orden normal" para referirse a dos cosas no equivalentes. A veces significan "usar las relaciones de (anti)conmutación para reescribir el operador para que tenga un orden normal (sin cambiar el operador en sí)". Bajo esta definición (inequívoca), tenemos que la forma ordenada normal del operador $a a^\dagger$ es $a^\dagger a + 1$ . Podemos usar esta definición para poner cualquier operador en forma canónica (hasta un signo, en el caso fermiónico. Podemos corregir esta ambigüedad de signo especificando una ordenación canónica de los espacios de Hilbert de sitio único).

Pero a veces el verbo "orden normal" se usa de una manera diferente, lo que en realidad puede cambiar el operador. Creo que esta definición es la que normalmente se representa rodeando el operador con dos puntos. Si entiendo correctamente, este procedimiento se define como "usar las relaciones de (anti)conmutación $\left[ a_i, a_j \right]_\pm = \left[ a_i^\dagger, a_j^\dagger \right]_\pm = 0$ para mover todos los operadores de creación a la izquierda de todos los operadores de aniquilación, ignorando el $\left[ a_i, a_j^\dagger \right]_\pm = \delta_{ij}$ relación de (anti)conmutación y pretendiendo que su RHS era cero".

Este procedimiento obviamente parece un poco arbitrario y desmotivado. Además, no parece del todo bien definido. Está bien para productos de operadores de escalera, pero el problema es que, según esta definición, el orden normal no se distribuye sobre la suma:

: a^{†} a : = a^{†} a = a a^{†} - 1

${:} a^\dagger a{:} \ =\ a^\dagger a\ =\ a a^\dagger - 1\$ pero

: a a^{†} : - 1 = a^{†} a - 1.

${:} a a^\dagger{:} -1\ = a^\dagger a - 1.$

Por lo tanto, no está claro cómo definir el orden normal para un operador general, es decir, una combinación lineal general de productos de operadores de escalera. Y, por supuesto, si un operador es o no una suma no trivial de productos de operadores de escalera depende de cómo lo escriba; podemos escribir equivalentemente el mismo operador que $a^\dagger a$ (solo un sumando) o como $a a^\dagger - 1$ (múltiples sumandos).

A partir de esto, concluyo que (según la segunda definición) "ordenar normalmente un operador" es en realidad un abuso de terminología; solo podemos ordenar normal de manera significativa ciertas expresiones particulares para algunos operadores. ¿Es esto correcto? Si no, ¿cómo se define el ordenamiento normal de una combinación lineal de productos de operadores de escalera?

qmecanico

Relacionado: physics.stackexchange.com/q/309410/2451 , physics.stackexchange.com/q/323801/2451 y enlaces allí.

Hola Adios

Tenga en cuenta que a pesar de que

a^{†} a = a a^{†} - 1

$a^\dagger a \,=\, a a^\dagger -1$ , no tenemos

: a^{†} a : = : a a^{†} - 1 :

$:\!a^\dagger a\!: \,\,=\,\, :\!a a^\dagger -1\!:$ , porque los dos puntos cambian el orden de los operadores en el producto en el RHS, pero los dejan sin cambios en el LHS.

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Relacionado: physics.stackexchange.com/q/309410/2451 , physics.stackexchange.com/q/323801/2451 y enlaces allí.
Tenga en cuenta que a pesar de que $a^\dagger a \,=\, a a^\dagger -1$ , no tenemos $:\!a^\dagger a\!: \,\,=\,\, :\!a a^\dagger -1\!:$ , porque los dos puntos cambian el orden de los operadores en el producto en el RHS, pero los dejan sin cambios en el LHS.

Sebastiano Peotta · Answer 1

Se puede encontrar una definición axiomática de orden normal en el libro "Solitones: ecuaciones diferenciales, simetrías y álgebra dimensional infinita" de T. Miwa, M. Jimbo y E. Date en la página 44-46. Esta es la mejor definición que he encontrado hasta ahora y es la siguiente para productos de operadores bosónicos. Llamar $\mathcal{A}$ el conjunto de combinaciones lineales de productos finitos formales de operadores bosónicos $b_i,\,b_i^\dagger$ . el orden habitual ${:} a {:}$ de $a \in\mathcal{A}$ es una notación definida inductivamente por las propiedades

linealidad, $: z_{1} a_{1} + z_{2} a_{2} : = z_{1} : a_{1} : + z_{2} : a_{2} : para z_{1}, z_{2} \in C y a_{1}, a_{2} \in A$ ${:} z_1a_1+z_2a_2 {:}= z_1{:} a_1 {:} + z_2 {:} a_2 {:}\quad \text{for} \quad z_1,\,z_2\in \mathbb{C}\quad \text{and}\quad a_1,\,a_2 \in \mathcal{A}$
${:} 1 {:} = 1$ , con $1$ el operador de identidad en $\mathcal{A}$
dentro de los puntos todos los operadores $b_i,\,b_i^\dagger$ viajar entre ellos
los operadores de aniquilación se pueden sacar de las columnas de la derecha $: a b_{i} : = : a : b_{i}$ ${:}a b_i{:} = {:} a{:}\,b_i$
los operadores de creación se pueden sacar de las columnas de la izquierda $: b_{i}^{†} a : = b_{i}^{†} : a :$ ${:}b_i^\dagger a{:} = b_i^\dagger\,{:} a{:}$

La definición de operadores fermiónicos es la misma con la única diferencia de que los operadores fermiónicos se anticonmutan entre sí (Propiedad 3). Es importante destacar que, por lo general, los operadores de aniquilación son aquellos que aniquilan un estado de vacío específico, por lo que el orden normal depende de la elección del vacío.

El orden normal es una notación y no una función que actúa sobre operadores (es decir, un superoperador). Esto significa que, mientras $b_ib_i^\dagger$ y $b_i^\dagger b_i +1$ son los mismos operadores según las relaciones canónicas de conmutación, se representan como diferentes elementos de $\mathcal{A}$ que es el conjunto de combinaciones lineales de cadenas de símbolos generados por $b_i,b_i^\dagger$ . En términos matemáticos el orden normal es una función definida sobre los elementos del álgebra libre generada por $b_i,b_i^\dagger$ , pero no es una función bien definida en el álgebra CCR (álgebra de relaciones de conmutación canónica). El paso en falso que lleva al resultado paradójico

b_{i} b_{i}^{†} = b_{i}^{†} b_{i} + 1 \Rightarrow : b_{i} b_{i}^{†} : = : b_{i}^{†} b_{i} + 1 : = : b_{i}^{†} b_{i} : + 1 = : b_{i} b_{i}^{†} : + 1 \Rightarrow 0 = 1

$b_ib_i^\dagger = b_i^\dagger b_i +1 \Rightarrow {:}b_ib_i^\dagger {:} = {:}b_i^\dagger b_i +1{:} = {:}b_i^\dagger b_i{:} + 1 = {:}b_ib_i^\dagger{:} + 1 \Rightarrow 0 = 1$

es en realidad la primera igualdad desde $b_ib_i^\dagger \neq b_i^\dagger b_i +1$ en $\mathcal{A}$ . En otro post se sugirió que el producto normal es indefinido al actuar sobre combinaciones lineales. Sin embargo, esto limitaría seriamente la utilidad de la orden normal. Por ejemplo, es común tomar el orden normal de series infinitas como las exponenciales. La definición como una función que actúa sobre el álgebra libre. $\mathcal{A}$ es de hecho el que se emplea en la práctica.

Este es un buen ejemplo de cómo el rigor matemático no debe ser visto como una molestia en la comunidad física, sino como una herramienta importante para evitar malentendidos y confusiones.

qmecanico · Answer 2

El punto principal es que el procedimiento normal de pedido $:~:$ no lleva operadores a operadores, sino símbolos/funciones a operadores. Este importante punto resuelve varias paradojas creadas por el abuso del lenguaje.
es decir, si $a$ y $a^{\ast}$ denota los símbolos/funciones correspondientes a los operadores $\hat{a}$ y $\hat{a}^{\dagger}$ , respectivamente, entonces el orden normal satisface
$: a a^{*} : = : a^{*} a : = {\hat{a}}^{†} \hat{a},$ $:aa^{\ast}:~=~:a^{\ast}a:~=~\hat{a}^{\dagger}\hat{a},$ Etcétera.
Para obtener una explicación completa, consulte, por ejemplo, esta publicación de Phys.SE y sus enlaces.

¿Qué quiere decir con "símbolos/funciones"? Si tienes dos operadores $a$ y $b$ , no puedes escribir $:ab:$ ? ¿Puede lo que hay dentro de la $:\dots:$ no contiene ningún operador?

Arnold Neumaier · Answer 3

En la mecánica cuántica con un número finito de grados de libertad, la ordenación normal siempre significa aplicar las reglas de conmutación para mover a los creadores a la izquierda de los aniquiladores, lo que da como resultado una expresión final única igual a la original en el sentido del operador.

En la teoría cuántica de campos (es decir, la mecánica cuántica con infinitos grados de libertad), proceder de esta manera suele ser imposible, ya que conduce a coeficientes mal definidos. Por lo tanto, en la teoría cuántica de campos, el ordenamiento normal siempre significa permutar a los creadores a la izquierda de los aniquiladores sin tener en cuenta las reglas de conmutación (es decir, en la expresión clásica). Sin embargo, el signo cambia al permutar dos operadores fermiónicos. De esta manera, las expresiones mal definidas tienen sentido al menos como formas cuadráticas. En la dimensión del espacio-tiempo $>2$ , se necesita más renormalización para convertir las expresiones en verdaderos operadores.

No creo que las expresiones de orden normal sean únicas, porque el orden de los operadores de creación y el orden de los operadores de aniquilación son arbitrarios por separado, ¿verdad?
@tparker: sí, pero estos (anti) conmutan, por lo que el operador definido es independiente de la ambigüedad de pedido restante. Cualquier orden de precedencia lo hará completamente único.

arroyo tsui · Answer 4

arroyo tsui

Creo que el sabio comentario de Sidney Coleman es útil. (ver su conferencia 4.5 para más detalles).

Mi paráfrasis:

El "producto de orden normal" no es algo que los operadores de productos primero y luego "normalizan" el producto. Es un nuevo tipo de producto en el que siempre pones los operadores de aniquilación a la derecha de los operadores de creación. Similar al producto cruzado: no "cruzas" el producto para hacer un producto cruzado, ¿verdad?

La motivación por la que introdujimos este tipo de producto es deshacernos de los infinitos innecesarios (al menos no nos importan en términos de QFT) después de conmutar operadores.

Miyase

Esto no proporciona una respuesta a la pregunta. Una vez que tenga suficiente reputación, podrá comentar cualquier publicación ; en su lugar, proporcione respuestas que no requieran aclaración por parte del autor de la pregunta . - De la revisión

arroyo tsui

@Miyase Gracias por tu comentario. Pero creo que casi la misma pregunta se publicó en el libro de Coleman. Y déjame ser más claro. El "producto de orden normativo" es un nuevo tipo de producto. Para mayor claridad, tal vez podamos sustituir "*" por dos puntos, lo que causa muchas implicaciones imprecisas en mi opinión:

a * a^{†} := a^{†} a = a^{†} * a .

$a * a ^{\dagger}:= a^{\dagger} a= a^{\dagger} *a.$ Mientras

a^{†} a = a a^{†} + 1

$a^{\dagger} a=a a^{\dagger}+1$ se define para producto normal, no para "producto de pedido normal". No es una operación que se pueda imponer a ambos lados de la ecuación.

Miyase

Mi punto era que su respuesta no contiene suficientes detalles en sí misma para ser útil, por lo que parece más un comentario. Debe incluir elementos adicionales para que su respuesta sea lo más independiente posible.

arroyo tsui

@Miyase Gracias. Tengo tu punto. Tienes razón. Aunque para esta pregunta, creo que mi comentario + la respuesta son suficientes para mi punto, lograré que las respuestas futuras sean independientes.

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