El rastro de un conmutador es cero, pero ¿qué pasa con el conmutador de xxx y ppp?

$x$y$p$no tienen representaciones de dimensión finita. En particular,$xp$y$px$no son "clase de rastreo". En términos generales, esto significa que las huellas de$xp$y$px$son ambos infinitos, aunque es mejor tomarlos como indefinidos. De nuevo vagamente, si restas$\infty-\infty$, seguro que puedes conseguir$i\hbar$. Pero no deberías. Todo sale bien si piensas en$p$como un múltiplo complejo del operador derivada, para el cual$\frac{\partial}{\partial x}$y$x$actuar sobre el espacio dimensional infinito de polinomios en$x$.

Después de leer la respuesta de Peter Morgan y pensarlo un poco más, creo que esto es realmente más simple de lo que parece al principio.

Para espacios de dimensión finita, la traza de un conmutador es siempre cero. Para espacios de dimensión infinita la traza no siempre está definida, ya que toma la forma de una suma infinita (para dimensión contable) o una integral (para dimensión continua) que no siempre convergen.
Cuando se define la traza, obedece a las mismas reglas que en dimensión finita, en concreto la traza de un conmutador es cero. Para operadores como$x$,$p$y sus productos, el rastro simplemente no está definido, por lo que no tiene sentido hacer preguntas al respecto.
Al calcular los promedios térmicos, el factor$e^{-\beta H}$se asegura de que la traza converja, ya que la energía siempre está unida desde abajo (de lo contrario, el sistema no es físico).

Estoy seguro de que los conceptos mencionados por @Peter Morgan son importantes en este contexto (limitación, condición KMS), pero no sé nada sobre ellos, y creo que la respuesta que acabo de proporcionar es suficiente para fines prácticos.

Desarrollando un poco la respuesta de @Peter Morgan, en el sentido de que$x$y$p$no son operadores acotados, por lo que su conmutador no necesita estar acotado . Primera nota que

Ahora, la magia de la paradoja se resuelve sola:

En el espacio de Hilbert finito ( N -dimensional) representaciones de$x$y$p$(QM de Weyl alrededor de un círculo), el conmutador se desvanece, como debería, pero el lado derecho no es exactamente la identidad , sino una matriz finita con 0 en la diagonal, entonces, sin rastro, está bien. Santhanam, TS; Tekumalla, AR (1976). "Mecánica cuántica en dimensiones finitas". Fundamentos de la Física 6 (5) p. 583. doi:10.1007/BF00715110.

En este artículo notablemente perspicaz, se muestra que, en el límite del continuo, N⟶ ∞ , esta misma matriz va a la Dirac- δ , ¡la identidad de dimensión infinita que se discute aquí! Cf. Q10,11 de un examen que he dado en el pasado.

2.1c) Supongamos que$A,B,I$son$n \times n$matrices, donde$n$es un entero positivo finito. Entonces sí:

Creo que el problema radica en la acción del operador.$\hat p$. Por favor corrígeme si me equivoco.
La acción del operador.$\hat p$en el espacio cuántico se define como
$<x|\hat p|a>=-i \hbar \partial_x <x|a>$
si el estado$|a>$no depende de x De hecho, si el Estado$|a>$depende de$x$, como por ejemplo$|a>=f(x)|b>$para cualquier función escalar$f(x)$, entonces claramente la ecuación
$<x|\hat p|a>=<x|\hat p f(x)|b>=-i \hbar \partial_x <x|f(x)|b>= -i \hbar \partial_x (f(x) <x|b>)$
estaría mal definido, ya que podría evaluarse de otra manera diferente:$<x|\hat p|a>=<x|\hat p f(x)|b>=f(x) <x|\hat p |b>=f(x)(-i \hbar) \partial_x <x|b>$
La segunda evaluación proviene del hecho de que, en la Mecánica Cuántica Estándar, se postula que cualquier operador actúa sobre los vectores ket y no sobre los escalares (con la excepción del operador de inversión del Tiempo, que aquí no sirve para nada).

La relación del conmutador$\left[\hat x, \hat p\right]=i\hbar$se obtiene de la acción del operador$\hat p$como se define arriba. Por lo tanto, es evidente que tal relación de conmutación no puede usarse generalmente en un producto escalar ($<x|...|ket>$) si el estado ket de la derecha depende de$x$.

Habiendo dicho eso, cuando realizas el rastreo del conmutador$\left[\hat x, \hat p\right]$, Tú lo estás haciendo
$Tr\Big[\left[\hat x, \hat p\right]\Big]=\int dx <x|(\hat x\hat p-\hat p\hat x)|x>=\int dx <x|(x\hat p-\hat p x)|x>$,
donde en el último paso anterior acabo de extraer los valores propios de los estados propios$|x>$. En la ecuación anterior tienes un producto escalar donde el ket de la derecha depende de$x$. Por lo tanto, tendrás que tener cuidado en la evaluación y no puedes usar el$xp$-relaciones de conmutación inmediatamente. Con un poco de cuidado, todos pueden ver en la ecuación anterior que, de hecho, la traza da cero
$\int dx <x|(x\hat p-\hat p x)|x>=\int dx \,x<x|(\hat p-\hat p )|x>=0$,
como debería.
Mientras que, si hubieras usado el$xp$-relaciones de conmutación desde el principio, habría encontrado erróneamente
$Tr\Big[\left[\hat x, \hat p\right]\Big]=Tr\Big[i\hbar\Big]=i\hbar$.

Editado después del comentario de Joe
En la última ecuación olvidé la dimensionalidad del espacio. Debe modificarse como$Tr\Big[\left[\hat x, \hat p\right]\Big]=Tr\Big[i\hbar\Big]=i\hbar\,D$
dónde$D$son las dimensiones del espacio cuántico en el que está tomando el rastro. Gracias Joe.