¿Cómo saber si un conjunto de observables conmutables está completo?

Definimos un conjunto completo de observables conmutables como un conjunto de observables { A 1 , … , A norte } tal que:

  1. [ A i , A j ] = 0 , para cada 1 ≤ i ,   j ≤ norte ;

  2. Si a 1 , … , a norte son valores propios de A 1 , … , A norte respectivamente, existe un estado único ψ tal que A i ψ = a i ψ .

Me preguntaba si existe un teorema o un procedimiento estándar para decir si un conjunto de observables está completo. En espacios de dimensión finita parece bastante fácil, pero ¿cómo hacerlo en espacios de dimensión infinita, en particular, cuando la degeneración también es infinita?

Algunas preguntas prácticas:

  1. como probar { H , L 2 , L z } es un conjunto completo, donde L es el momento angular, L z es el z -componente de dirección de L , y H = 1 2 metro ∇ 2 − mi 2 r es el hamiltoniano?

  2. como probar { H , L z } Qué es un juego completo en el caso de los niveles Landau?

Conjunto completo de ejemplos de observables de desplazamiento

Respuestas (2)

Está completo si solo hay una base de vectores propios comunes. Eso significa que solo hay una base en la que las matrices son matrices diagonales.

Comencemos con solo 2: operadores A y B . Si [ A , B ] = 0 , hay al menos una base ortonormal de vectores propios comunes.

Si los valores propios de A no tienen degeneración, entonces la base es única (excepto para los factores de fase globales) y, por lo tanto, el conjunto está completo .

Si A tiene valores propios degenerados, entonces forman subespacios (la matriz tiene cajas a lo largo de la diagonal). B actúa sobre cada subespacio sin fusionarse con otros.

Dentro de cada subespacio, puedes encontrar una base de B lo que hace sub-sub-espacios (sub-cajas).

Si esos subespacios son más que unidimensionales, entonces el sistema no está completo, pero hay un tercer desplazamiento observable C que podría hacer las matrices diagonales.

Puede haber más de 1 CSCO con valores propios diferentes.

Para un CSCO dado, los valores propios de todos los operadores especifican un solo vector propio común.

En cuanto a la pregunta práctica, puede mostrarla en el caso particular.

Pero se puede demostrar que cualquier configuración esféricamente simétrica satisface [ H , L → ] = 0 , y por lo tanto hay [ H , L 2 ] = 0 ,   [ H , L z ] = 0 .

Esto se debe a que cualquier sistema que sea invariante bajo rotaciones verifica que H conmuta con rotaciones, y las rotaciones son una función de L → , entonces [ H , L → ] = 0 . Es largo demostrarlo, pero es un tema muy hermoso.

Nota : invariante bajo rotaciones se refiere a que obtendrá el mismo resultado a) Deje que evolucione en el tiempo y luego gírelo. b) Girarlo primero y luego dejarlo evolucionar.

Generalmente, como regla, si sabe que un conjunto de números cuánticos está completo, entonces sabe que cualquier otro conjunto completo debe tener la misma cantidad de números cuánticos, lo cual es una forma práctica de verificar los resultados. Además, el número de grados de libertad separables también corresponde al número de números cuánticos. En su ejemplo, el electrón tiene 3 grados de libertad alrededor del átomo (4 con giro), por lo que 3 o 4 números cuánticos definen el sistema. En los niveles de Landau, tiene solo 2 grados de libertad.

EDITAR: Quizás este sea otro punto importante que vale la pena señalar: un conjunto de operadores de conmutación está completo si representa el número máximo de operadores de conmutación linealmente independientes en el espacio. En general, esto es un hecho difícil de probar dado un conjunto de operadores candidatos.

No parece cierto. Dado que los operadores de conmutación se pueden diagonalizar simultáneamente, me centraré en los operadores diagonales para dar un ejemplo. Considere un sistema en un espacio de Hilbert de cuatro dimensiones y los siguientes operadores positivos conmutantes
A = [ 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 2 ] , B = [ 1 0 0 0 0 2 0 0 0 0 3 0 0 0 0 1 ] , C = [ 1 0 0 0 0 2 0 0 0 0 3 0 0 0 0 4 ] . Entonces { A , B } y { C } son conjuntos completos de conmutables observables con diferente cantidad de números cuánticos. ¿Es correcto?
@CorreadaSilva Hay un par de problemas aquí. Primero, no está claro qué sistema está modelando con estos conjuntos de matrices. Ambos conjuntos deben modelar el mismo sistema para que podamos comparar los QN de manera significativa. En segundo lugar, estos conjuntos no me parecen completos. Ambos conjuntos todavía tienen otras matrices que son linealmente independientes de ellos y conmutan con todos los miembros del conjunto. Necesitamos tener el número máximo de LI y matrices de conmutación para decir que el conjunto está completo.
@RicardoCorreadaSilva Vaya, me equivoqué con la etiqueta la primera vez. De todos modos, pensé en algo para agregar. Es decir, esta pregunta está estrechamente relacionada con el problema de los coeficientes de Clebsch-Gordan y un punto de confusión que algunas personas tienen: la base desacoplada (producto directo de los estados de espín) tiene el mismo número de vectores base y operadores de conmutación que la base acoplada (producto directo de los estados de espín). suma de estados de espín). Por ejemplo, 3 2 ⨂ 3 2 = 3 ⨁ 2 ⨁ 1 ⨁ 0 , y en ambos casos el espacio está definido por 4 operadores (y por lo tanto 4 QN) y 16 vectores base.
De hecho, no quiero especificar el sistema, esperaba una respuesta general. Bueno, los conjuntos están completos como se puede ver en la definición anterior y, como en los coeficientes de Clebsch-Gordan, existe una correspondencia entre la base: (i) en el conjunto { A , B } los vectores se pueden identificar como | 1 , 1 >= ( 1 , 0 , 0 , 0 ) , | 1 , 2 >= ( 0 , 1 , 0 , 0 ) , | 1 , 3 >= ( 0 , 0 , 1 , 0 ) y | 2 , 1 >= ( 0 , 0 , 0 , 1 ) ; (ii) en el conjunto { C } los vectores se pueden identificar como | 1 >= ( 1 , 0 , 0 , 0 ) , | 2 >= ( 0 , 1 , 0 , 0 ) , | 3 >= ( 0 , 0 , 1 , 0 ) y | 4 >= ( 0 , 0 , 0 , 1 ) . Pero esta relación es entre vectores.
@RicardoCorreadaSilva Creo que no entiendes mi punto. Cualquier respuesta general se basa en sistemas específicos que se aplicarán de manera consistente. Quiero decir que si no especifica las simetrías o el hamiltoniano de su espacio de Hilbert, entonces no hay forma de saber si dos conjuntos de observables definen el mismo espacio. El ejemplo que diste es trivial o incontestable. Si afirma que ambos conjuntos modelan el mismo sistema, no puedo verificarlo a menos que especifique el objetivo Hilbert Space. Si se supone que solo es E3, entonces cualquier matriz de 4x4 con valores propios únicos funcionará, pero eso ya lo sabía.
@RicardoCorreadaSilva Tu respuesta está aquí si estás dispuesto a aceptarla. El espacio de Hilbert objetivo de un sistema cuántico específico está atravesado por los vectores propios simultáneos de una cantidad de operadores hermetianos igual a la cantidad de grados de libertad separables de ese sistema. Ese número representa un conjunto máximo de operadores conmutadores que obedecen a las simetrías del sistema. Por ejemplo, los estados de giro pueden especificarse de forma única mediante 1 operador ( L z ), pero en realidad necesita 2 operadores porque L → sigue siendo un grado de libertad a pesar de no parecer restringir los vectores propios.
¿Cómo saber si un conjunto de observables conmutables está completo?
RespuestasAquíPolítica de privacidad1y, 0v