Teorema de la medida espectral conjunta

Por favor, hágamelo saber si lo que estoy pensando es correcto.

Sí, el pensamiento es esencialmente correcto. Para ayudar a validar y quizás refinar lo que está escrito en la pregunta, ofreceré algunas ideas sobre cómo el teorema de la medida espectral se relaciona con los siguientes hechos:

• Dato 1: Las medidas reales tienen una resolución finita.

• Hecho 2: Las medidas reales se aplican solo a una parte de un sistema más grande.

Para ser específicos, considere dos observables que se conmutan mutuamente, digamos$A$y$B$, ambos con espectros continuos dados por toda la línea real. Para ser más explícito, considere un espacio de Hilbert de$N$-funciones variables$\psi(x,y,z,...)$y definir$A$y$B$por

$$A\,\psi(x,y,z,...)=x\,\psi(x,y,z,...) \hskip2cm B\,\psi(x,y,z,...)=y\,\psi(x,y,z,...). \tag{1}$$ Las medidas reales tienen una resolución finita, por lo que no deberíamos pensar en el resultado de un$A$-medida que produce un vector propio/valor propio de$A$, que no existen matemáticamente de todos modos. Una mejor manera de pensar en ello (pero todavía artificial; ver la nota al pie) es pensar en una medida de$A$como una colección de un número finito de preguntas sí/no mutuamente compatibles. Cada pregunta de sí/no pregunta "¿Es el valor de$x$mayor que$x_0$o menos de$x_0$?" para algún valor dado de$x_0$. Esta pregunta corresponde a un observable dicotómico, representado por un par de operadores de proyección mutuamente complementarios$\{P,\,1-P\}$de la descomposición espectral de$A$. Los operadores de proyección$P$y$1-P$ambos tienen espacios propios de dimensión infinita. Después de medir el observable dicotómico$\{P,\,1-P\}$, el vector de estado original$|\psi\rangle$debe ser reemplazado por cualquiera$P|\psi\rangle$o$(1-P)|\psi\rangle$con el propósito de hacer predicciones sobre mediciones futuras. Dado que todos los operadores de proyección en la descomposición espectral de$A$viajan entre sí, podemos modelar una medida de$A$como un gran (pero finito) número de estas medidas dicotómicas cuya secuencia no importa. Y dado que todos los operadores de proyección en la descomposición espectral de$B$viajar con los de$A$, podemos manejar una medida conjunta de resolución finita de$A$y$B$de la misma manera manejamos una medida de resolución finita de$A$en sí mismo, es decir, como una colección grande pero finita de medidas dicotómicas mutuamente compatibles. De esta forma, el tratamiento de observables con espectros continuos se reduce efectivamente al caso de observables con espectros discretos.

Eso aborda el Hecho 1, y el Hecho 2 puede abordarse de manera similar. De acuerdo con la ecuación (1), todo operador de proyección distinto de cero en la descomposición espectral de$A$(o$B$) tiene un espacio propio de dimensión infinita. Ninguno de ellos tiene espacios propios de dimensión finita, y mucho menos espacios propios unidimensionales. Físicamente, esto corresponde al hecho de que lo observable$A$(o$B$) está asociado con solo una parte de un sistema más grande (representado en este ejemplo artificial por la larga lista de variables$x,y,z,...$), y una medida de$A$no puede determinar completamente el estado del resto del sistema, no importa cuán fina sea la resolución del$A$-medida podría ser. (Una versión más cuidadosa de esta declaración conduciría en direcciones interesantes que involucran el entrelazamiento y cosas como el teorema de Reeh-Schlieder, pero resistiré la tentación de ser tan cuidadoso).

En conjunto, creo que esto está de acuerdo con el entendimiento que se explicó en la pregunta. El propósito de esta respuesta fue simplemente validar lo que estaba escrito en la pregunta.

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Nota

Como se mencionó anteriormente, la visión de la colección de observables dicotómicos sigue siendo artificial, porque las mediciones reales no tienen límites perfectamente definidos entre los diferentes resultados posibles. Por ejemplo, aunque una medida real de la posición de una partícula tiene una resolución finita, esa resolución finita no se realiza realmente mediante una subdivisión del espacio en celdas de tamaño finito con límites perfectamente nítidos. Una forma aún mejor de pensar en la medición es usar un modelo que incluya el equipo de medición y otras entidades ambientales como parte del sistema cuántico general, de modo que el acto físico de la medición esté abarcado por la ecuación de Schrödinger para todo el sistema. Esto no resuelve el infame problema de la medición, pero sípermitirnos diferir la aplicación de la proyección$|\psi\rangle\rightarrow P|\psi\rangle$hasta después de que el proceso físico real y desordenado de medición esté prácticamente completo. La ventaja conceptual de hacer esto es que ahora el propio modelo "sabe" que los límites entre los diferentes resultados de medición posibles son borrosos, tal como sabemos que deben serlo en el mundo real. Todavía podemos aplicar en última instancia una proyección$|\psi\rangle\rightarrow P|\psi\rangle$, que aún impone límites artificialmente nítidos, pero de esta manera al menos su artificialidad puede cuantificarse utilizando el propio modelo. En la práctica, nadie hace las cosas de esta manera, porque las matemáticas son prohibitivamente difíciles: resolver la ecuación de Schrödinger para todas las moléculas en un laboratorio completo es, bueno, bastante difícil. El punto aquí es simplemente que podría hacerse en principio . Esto puede ayudar a poner las cosas en una perspectiva un poco más satisfactoria, aunque no resuelve el infame problema de la medición.