Ecuación de la ecuación de Schrödinger unidimensional con condición inicial, encontrando la probabilidad de la posición futura de la partícula

Las integrales que tienes que calcular no son tan difíciles. En primer lugar, las partes espaciales de sus funciones de onda son reales (esto es inteligente y siempre es posible en una dimensión) y, por lo tanto, los conjugados complejos simplemente no importan. Entonces, la integral restante que tienes en la derecha es (hasta alguna expresión dependiente de t (S(t)) que dejaremos por ahora):

$$I(t) = S(t) \int_0^a\Phi_n(x)\Phi_m(x) dx = S(t) \frac{2}{a} \int_0^a \operatorname{sin}\Big( \frac{n\pi x}{a} \Big) \operatorname{sin}\Big( \frac{m\pi x}{a} \Big)dx$$

Ahora, tienes que hacer una sustitución.$t = \frac{\pi x}{a}$Llegar

$$I(t) = S(t) \frac{2}{\pi} \int_0^\pi \operatorname{sin} ( n x ) \operatorname{sin} ( m x )dx$$

En primer lugar, si n o m son 0, entonces I(t) = 0 y su estado inicial se normaliza.

Ahora integras por partes (o por mathematica si no puedes por partes) para obtener

$$I(t) = S(t) \frac{2}{\pi} [ -(\frac{1}{m} \sin{n x} \cos{m x}) |_0^\pi + \frac{n}{m} \int_0^\pi \cos{n x} \cos({m x}) dx]$$

El primer término es 0 (porque sen es 0 en todas las multiplicidades de$\pi$). Ahora podemos proceder con la integración por partes del segundo término.

$$I(t) = S(t) \frac{2}{\pi} ( \frac{n}{m} \int_0^\pi \cos{n x} \cos({m x}) dx) = S(t) \frac{2}{\pi} [ (\frac{n}{m^2} \cos{n x} \sin{m x}) |_0^\pi$$ $$+ \frac{n^2}{m^2} \int_0^\pi \sin{n x} \sin({m x}) dx] = \frac{n^2}{m^2} I(t)$$

Entonces, hay dos posibilidades: n=m o I(t)=0 (n=-m se excluye porque las etiquetas negativas no están en la base porque sin(-nx) = -sin(nx) - dependencia lineal). Lo que obtienes es una RELACIÓN DE ORTOGONALIDAD: si los vectores propios tienen etiquetas diferentes (por ejemplo, 1 y 2 como en tu caso), son ortogonales en$L^2([0,a])$que pasa a ser su espacio de Hilbert. Hay teoremas que establecen que esto siempre es cierto para los estados propios hamiltonianos: la teoría correspondiente de operadores diferenciales se conoce como teoría de Strum-Liouville (para espacios de Hilbert de dimensión finita, esta es una propiedad trivial de los operadores autoadheridos).

Ahora, a la segunda parte de tu pregunta. El módulo al cuadrado de la función de onda es, por definición, la densidad de probabilidad de encontrar una partícula en un intervalo$dx$

Entonces, la probabilidad de encontrar una partícula en [0,a/2] es simplemente

$$\int_0^{a/2} |f(x,t)|^2 dx = \frac{1}{2}\int_0^{a/2} |\Phi_1(x)|^2 + |\Phi_2(x)|^2 dx +$$

$$\frac{1}{2}\int_0^{a/2} \Phi_1(x) \Phi_2(x) \operatorname{exp} \Big( (-1^2+2^2)\frac{-i\pi^2 h t}{2ma^2} \Big)+ \Phi_2(x) \Phi_1(x) \operatorname{exp} \Big( (-2^2+1^2) \frac{-i\pi^2 h t}{2ma^2} \Big)$$ $$= \frac{1}{2}\int_0^{a/2} |\Phi_1(x)|^2 + |\Phi_2(x)|^2 dx + \cos{\frac{3\pi^2 h t}{2ma}} \int_0^{a/2} \Phi_1(x) \Phi_2(x) dx$$

La primera integral es simplemente 1 porque tomamos la mitad del área de$sin(x)^2$y$sin(2x)$y añádelo. La segunda integral se puede calcular fácilmente usando la fórmula doble 'por partes' de arriba y reemplazando$\pi$con$\pi/2$en límites integrales. uno obtiene$\frac{4}{3 \pi}$Por lo tanto finalmente

$$\int_0^{a/2} |f(x,t)|^2 dx = \frac{1}{2}+\frac{4}{3 \pi} \cos{\frac{3\pi^2 h t}{2ma}}$$

Como$\frac{4}{3 \pi} < \frac{1}{2}$el resultado tiene sentido. Como el cuerpo está en una mezcla de dos estados, la probabilidad ya no es constante en el tiempo.

La respuesta de @Nick es correcta, pero redundante.

Para empezar, un estado no necesita estar normalizado, ni estar representado por los estados propios para conservar su norma.

La evolución del tiempo es una transformación unitaria (de hecho, porque el hamiltoniano es hermitiano). Por tanto la norma de un estado, cualquier estado, se conserva con el tiempo. Esto se explica en detalle aquí .

Si tu$\Phi_n(x,t)$ya son estados propios de energía, entonces son ortogonales y, por lo tanto, si " sea la función de onda normalizada en una dimensión " significa que ya la ha normalizado, entonces$f(x)$en$t=0$está normalizado.

Para tiempos posteriores tienes

$$\Phi_n(x,t)=e^{-iE_nt}\Phi_n(x,0)=\exp({-iHt})\Phi_n(x,0)=U(t)\Phi_n(x,0)$$ y entonces $$\Phi(x,t)=c_1\Phi_1(x,t)+c_2\Phi_2(x,t)=U(t)(c_1\Phi_1(x,0)+c_2\Phi_2(x,0))=U(t)f(x).$$ Desde $U(t)$es unitario, el estado se mantendrá normalizado.

No nos has dado el hamiltoniano para ver si estos$\Phi_n$son realmente los estados propios, pero el punto es que si lo son, entonces los estados son ortogonales porque el hamiltoniano es hermítico y, en consecuencia, los términos de mezcla son cero.

La integración (para la normalización, comprobar la ortogonalidad y encontrar la partícula en un intervalo finito) es un problema puramente matemático.

editar: Bien, aquí tienes

http://img15.imageshack.us/img15/6774/bild3nl.png

Esta expresión es la única$x$-parte dependiente y es cero para todos los enteros$n\ne m$.

También puede conectar "Integrate[Sin[\pi x/a]Sin[2\pi x/a],{x,0,a}]" en Wolfram Alpha.