Uso del potencial electrostático escalar para calcular las probabilidades de transición

Las probabilidades de transición de los sistemas atómicos propensos a algún campo electromagnético variable en el tiempo se calculan muy a menudo utilizando la teoría de la perturbación que conduce a expresiones que incluyen el vector potencial.$\mathbf{A}$. Este enfoque parece ser muy complicado y me pregunto:

Está usando el potencial electrostático$U$para calcular "transiciones eléctricas" (aproximadamente) suficiente?

Esta fue la versión corta de mi pregunta; a continuación encontrará algunas notas adicionales que (con suerte) contienen toda la información necesaria para aclararlo.

En la mecánica cuántica relativista , la acción de un campo electrodinámico sobre un electrón se puede realizar mediante un acoplamiento mínimo utilizando el reemplazo$\partial_\mu \rightarrow \partial_\mu - \mathrm{i}eA_\mu$. Por lo tanto, en cierto sentido, la electrodinámica (cuántica) se puede derivar de la ecuación de Dirac utilizando la invariancia de la acción de los electrones libres con respecto a un cambio de fase.

Campos electromagnéticos y la ecuación de Schrödinger

Sin embargo, a menudo uno debe ignorar la belleza de la teoría de calibre para poder calcular algo prácticamente bajo ciertas simplificaciones utilizando la ecuación de Schrödinger no relativista .

Allí se puede incorporar un campo electromagnético externo aplicando los reemplazos

$$H\left(\mathbf{p},\mathbf{x}\right) \rightarrow H\left(\mathbf{p}-e\mathbf{A}\left(t,\mathbf{x}\right),\mathbf{x}\right)+eU\left(t,\mathbf{x}\right)$$ al hamiltoniano del sistema donde$\mathbf{A}$es el vector potencial conocido y$U$es el potencial correspondiente al campo eléctrico .

En el calibre de Coulomb $\mathrm{div}\mathbf{A}=0$uno siempre puede lograr$U\equiv 0$si no hay fuentes presentes y el hamiltoniano general se verá como

$$H = H_0 -\frac{e}{m}\mathbf{A}\left(t,\mathbf{x}\right)\mathbf{p}$$ dónde$H_0 = \frac{\mathbf{p}^2}{2m} + V(\mathbf{x})$y el término en$\mathbf{A}^2$, se ha despreciado el potencial ponderomotor .

Teoría de la perturbación dependiente del tiempo

La última expresión para$H$tiene la forma

$$H = H_0(\mathbf{p},\mathbf{x}) + H_t(\mathbf{p},\mathbf{x},t)\ .$$ Usando la serie de Dyson , uno puede escribir formalmente la solución dependiente del tiempo en la imagen de interacción como $$|\psi_I(t)> = T\exp\left[\frac{1}{\mathrm{i}\hbar}\int_{t_{0}}^{t}H_{t,I}\left(t^{\prime}\right)dt^{\prime}\right]|\psi_I(t_0)> .$$

Luego, se toman en cuenta solo los dos primeros términos para encontrar que las amplitudes de transición están dadas aproximadamente por

$$A_{n\rightarrow m}\approx\frac{1}{\mathrm{i}\hbar}\int_{t_{0}}^{t}\left\langle m\right|H_{t,I}\left(t^{\prime}\right)\left|n\right\rangle dt^{\prime}\ \mathrm{with}$$ $$H_{t,I}\left(t\right) = e^{\mathrm{i}\left(t-t_{0}\right)H_{0}/\hbar}H_t\left(t\right)e^{-\mathrm{i}\left(t-t_{0}\right)H_{0}/\hbar}\ .$$

Relación con la pregunta

En el caso dado tenemos

$$H_t = -\frac{e}{m}\mathbf{A}\left(t,\mathbf{x}\right)\mathbf{p}$$ y suponiendo que $$\mathbf{A}\left(\mathbf{x},t\right) = \mathbf{A}\left(\mathbf{x}\right) T(t)\ ,$$ y más usando $$\mathbf{p}=\frac{\mathrm{i}m}{\hbar}\left[H_{0},\mathbf{x}\right]\ ,$$ uno tendrá que resolver $$A_{n\rightarrow m}\propto <m|\mathbf{A}\left(\mathbf{x}\right)\cdot \mathbf{x}|n>\int_{t_0}^t e^{-\mathrm{i}\omega_{mn}\tau}T(\tau) d\tau\ +\ \mathrm{h.c.}$$ con$\hbar \omega_{mn} = E_m - E_n$, donde el$E_i$son los niveles de energía de lo imperturbable$H_0$.

Usando aquí el vector potencial$\mathbf{A}$es la forma correcta de incorporar el campo, por supuesto. A mí me parece extremadamente complicado hacerlo ya que para calcular las probabilidades de transición para una distribución de campo arbitraria habrá que expandir$\mathbf{A}$en armónicos esféricos vectoriales .

Entonces, el uso de un potencial escalar como$U$simplificaría enormemente los cálculos y mi pregunta ahora se puede volver a hacer como

¿Por qué no podemos simplemente usar$U(\mathbf{x})\cdot T(t)$para calcular las amplitudes de transición$A_{n\rightarrow m}$para "excitaciones eléctricas"?

Muchas gracias por las ideas, comentarios y correcciones.