¿La función de respuesta de aproximación de fase aleatoria (RPA) obedece las relaciones de Kramers-Kronig?

Considere la interacción de Coulomb filtrada en líquido de electrones, que en la aproximación de fase aleatoria (RPA) toma la forma

V ( q , ω ) = v ( q ) 1 − v ( q ) Π ( q , ω ) ,
dónde v ( q ) es la interacción de Coulomb no apantallada, Π ( q , ω ) es la polarizabilidad del gas de electrones.

Se conoce la interacción exacta apantallada V mi X a C t ( q , ω ) obedece a las relaciones Kramers-Kronig

R mi V mi X a C t ( q , ω ) = v ( q ) − 1 π PAG ∫ d ω ′ I metro V mi X a C t ( q , ω ′ ) ω − ω ′ ,
I metro V mi X a C t ( q , ω ) = 1 π PAG ∫ d ω ′ R mi V mi X a C t ( q , ω ′ ) − v ( q ) ω − ω ′ .
La polarizabilidad Π ( q , ω ) , al ser una función de respuesta retardada, también obedece a relaciones similares (aunque sin v ( q ) en los lados derechos).

¿La interacción RPA V ( q , ω ) obedecer las relaciones Kramers-Kronig? En caso afirmativo, ¿cómo se puede demostrar?

No estoy seguro, pero creo que la respuesta es sí. El formulario RPA es básicamente un subconjunto de los diagramas de Feynman en el caso exacto. Cada diagrama de Feynman debe satisfacer la analiticidad requerida por las relaciones de Kramers-Kronig.
@leongz Podemos, por ejemplo, truncar la serie RPA hasta el tercer orden V = v + v Π v + v Π v Π v (tomando, de hecho, un subconjunto de diagramas de Feynman) y luego obtenemos los polos de segundo orden de V dónde Π tiene los de primer orden. La presencia de polos de segundo orden probablemente arruinará las propiedades analíticas requeridas, ¿no es así?
No creo que el orden de los polos importe en las relaciones Kramers-Kronig. Consulte la derivación en wiki.

Respuestas (1)

Sí. La función de respuesta RPA V ( ω ) todavía obedece a la relación de Kramers-Kronig (KK), siempre que la función de polarización Π ( ω ) obedece a la relación KK. El punto clave es mostrar que todos los polos de orden superior que aparecen en la expansión RPA se pueden reducir a primer orden usando la relación KK de Π ( ω ) , de modo que no causen un problema.

La relación KK de la función de polarización implica que podemos expresar Π ( ω ) como

Π ( ω ) = ∫ d ω ′ 2 π A Π ( ω ′ ) ω − ω ′ + i 0 + ,
dónde A Π ( ω ) ≡ − 2 ℑ Π ( ω ) es la función espectral de la polarización. Entonces centrémonos en el término v Π ( ω ) v Π ( ω ) v en la expansión de RPA. Queremos mostrar que sus polos de segundo orden en realidad pueden resolverse con polos de primer orden y, por lo tanto, no son problemáticos. Para ver esto, partimos de
Π ( ω ) 2 = ∫ d ω 1 2 π d ω 2 2 π A Π ( ω 1 ) ω − ω 1 + i 0 + A Π ( ω 2 ) ω − ω 2 + i 0 + = ∫ d ω 1 2 π d ω 2 2 π ( 1 ω − ω 1 + i 0 + − 1 ω − ω 2 + i 0 + ) A Π ( ω 1 ) A Π ( ω 2 ) ω 1 − ω 2 .
Entonces podemos definir una nueva función espectral
A Π ( 2 ) ( ω ) = 2 ∫ d ω ′ 2 π A Π ( ω ) A Π ( ω ′ ) ω − ω ′ = 2 A Π ( ω ) ℜ Π ( ω ) = − 4 ℑ Π ( ω ) ℜ Π ( ω ) ,
que resuelve el polo ( ω − ω ′ ) − 1 en la integrante por la relación KK de Π ( ω ) , reduciendo así el orden total de los polos en uno. La función espectral A Π ( 2 ) será tan analítico como Π ( ω ) , que es exactamente la función espectral de Π ( ω ) 2 sin polos de segundo orden:
Π ( ω ) 2 = ∫ d ω ′ 2 π A Π ( 2 ) ( ω ′ ) ω − ω ′ + i 0 + .
Siguiendo el enfoque anterior, es sencillo mostrar que todos los términos de orden superior en la expansión RPA tienen la misma resolución espectral en términos de los polos de primer orden solamente.
Π ( ω ) norte = ∫ d ω ′ 2 π A Π ( norte ) ( ω ′ ) ω − ω ′ + i 0 + .
Todas las funciones espectrales de orden superior A Π ( norte ) ( ω ) se puede expresar como un polinomio de ℜ Π ( ω ) y ℑ Π ( ω ) . Así que mientras Π ( ω ) obedece a la relación KK, todos los términos en la expansión RPA también obedecerán a la relación KK, así como a la función de respuesta RPA V ( ω ) .

¡Gracias! Pero no entiendo qué quiere decir con "resolver polos de segundo orden por polos de primer orden". Por ejemplo, si A Π ( ω ) = ( a / π ) / [ ( ω − ω 0 ) 2 + a 2 ] (función espectral lorentziana), entonces Π ( ω ) = ( 1 / 2 π ) ( ω − ω 0 + i a ) − 1 , es decir Π ( ω ) tiene el polo de primer orden en ω = ω 0 − i a , lo que significa existencia de una excitación amortiguada. Al mismo tiempo, Π ( ω ) = ( 1 / 2 π ) 2 ( ω − ω 0 + i a ) − 2 todavía tiene el polo de segundo orden en ω = ω 0 − i a , como se puede obtener ya sea por el cuadrado directo de Π ( ω ) o usando la función A Π ( 2 ) .
¿La función de respuesta de aproximación de fase aleatoria (RPA) obedece las relaciones de Kramers-Kronig?
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