Uso de cuatro vectores para resolver una pregunta de relatividad [cerrado]

Tengo problemas para resolver un problema de física. Lo he intentado durante varias horas, pero no puedo encontrar lo que estoy haciendo mal. Puede que solo sea un error tonto. Este es un problema del libro de Relatividad Especial de Morin. Estoy tratando de mejorar en este tipo de preguntas.

Problema:

Tren A con la longitud adecuada L se mueve hacia el este a velocidad v , mientras que el tren B con la longitud adecuada 2 L se mueve hacia el oeste también a velocidad v . ¿Cuánto tiempo tardan los trenes en cruzarse (definido como el tiempo entre la coincidencia de los frentes y la coincidencia de los respaldos) en el marco de A y B?

Mi intento:

Sé que en el marco del suelo, el tiempo para que A pase a B es 3 L / 2 γ v , por lo que debería ser el mismo tanto en el marco de A como en el de B. Pero, cuando calculo el tiempo en el marco de referencia de A, obtengo una respuesta diferente. Aquí está mi trabajo:

Sea A el evento de que la parte trasera del tren A y sea B la parte trasera del tren B. También, definir X = 0 ser la parte trasera del tren A cuando la parte delantera de los trenes A y B se tocan. En el marco del suelo, tenemos

A = [ C t v t 0 0 ] , y  B = [ C t 3 L − v t 0 0 ]

Transformando a los rendimientos del marco de A (aquí, β = v / C )

[ γ − β γ 0 0 − β γ γ 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 ] ⋅ A = [ γ C t − β γ v t 0 0 0 ]

Entonces, transformando B en el marco de A se obtiene

[ γ − β γ 0 0 − β γ γ 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 ] ⋅ B = [ γ C t − β γ ( 3 L − v t ) − β γ C t + γ ( 3 L − v t ) 0 0 ] .

Igualando los rendimientos de A' y B' t = 3 L / 2 v , al que le falta un factor de 1 / γ .

¿Alguien sabe dónde me equivoqué?

De acuerdo con la dilatación del tiempo, el tiempo en los marcos de los trenes debe acordar ser 3 L 2 v γ 2 . Dado que los eventos ocurren en diferentes extremos de los trenes, también hay una pérdida de simultaneidad. Logré resolver este problema aplicando los efectos fundamentales uno por uno.
¡Bienvenido, nuevo colaborador, Joseph Man! He identificado algunos errores conceptuales en su forma de pensar. (1) ¿Cómo llegó a la conclusión de que el tiempo transcurrido según un reloj en cualquiera de los trenes debería ser igual al tiempo transcurrido según el reloj de una estación? (2) ¿Por qué las longitudes de los trenes no se contraen en el marco de la estación? (3) Parece que estás calculando (incorrectamente) t en vez de t ′ o t ″ (el tiempo transcurrido en el cuadro A o B)

Respuestas (1)

Olvidaste que las longitudes de los trenes A y B están contraídas por Lorentz cuando se observan en el marco del suelo. Para dar cuenta de esta contracción de Lorentz, debemos dividir el 3L en su expresión para B por un factor γ :

B = [ C t 3 L γ − v t 0 0 ] .

Usando esto B da como resultado la respuesta deseada.

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