Números complejos en óptica

Con cualquier oscilador armónico simple hay dos cantidades que nos interesan, la fase y la amplitud. Los números complejos son una manera fácil de representar ambos en un solo valor, especialmente porque un número complejo se puede escribir en la forma$Ae^{i\theta}$dónde$A$es la amplitud y$\theta$es la fase. Esto no significa que la luz tenga algún componente "imaginario". El número complejo es solo un modelo matemático para la luz.

Hay muchas formas en que los números complejos facilitan la construcción de modelos matemáticos. Si tiene acceso a una copia del libro de Roger Penrose "El camino a la realidad", eche un vistazo al capítulo 4 donde analiza este aspecto de los números complejos.

La respuesta de John Rennie , que los números complejos simplifican los cálculos con cantidades que varían sinusoidalmente al permitirle realizar operaciones lineales con exponenciales complejas y luego volver a las sinusoides al final de su cálculo, es totalmente correcta y un resumen de lo que se llama el método fasorial para tratar con cualquier cantidad que varíe sinusoidalmente con el tiempo (por lo general, ocasionalmente una coordenada reemplaza al tiempo).

Pero también existe una relación muy especial entre los números complejos y las ecuaciones de Maxwell (y, por lo tanto, con la óptica) que se mantiene independientemente de si la variación es armónica en el tiempo o no , y es exclusiva de las ecuaciones de Maxwell. Esta es la noción de diagonalizar o desacoplar las ecuaciones de Maxwell. Veamos las leyes de Faraday y Ampère:

dos ecuaciones de primer orden acopladas . Puede resolverlos por eliminación de fuerza bruta, terminando así con ecuaciones de segundo orden. Alternativamente, para simplificar las cosas, podemos desacoplarlas diagonalizándolas. Buscamos un campo$\alpha\vec{E} + \beta\vec{B}$que hace esto: sucede que si ponemos$\vec{F}_{\pm} = \vec{E} \pm i\,c\,\vec{B}$entonces obtenemos dos ecuaciones de primer orden desacopladas sumando$\pm i\,c$veces (1) a (2)

que simplifica la solución de las ecuaciones de Maxwell (a menudo la$i$está escrito en el LHS para enfatizar que las ecuaciones de Maxwell son la primera ecuación de Schrödinger cuantificada para el fotón). Prueba esto: no hay otros pesos de superposición que funcionen:$\pm i\,c$son los únicos que diagonalizan las ecuaciones de Maxwell.

Así que podríamos elegir cualquiera $\vec{F}_\pm$, asumir$\vec{E},\, \vec{B}$tienen valores reales (que por supuesto están en el laboratorio), resuelven las ecuaciones de Maxwell con el complejo$\vec{F}_+$(o$\vec{F}_-$: no importa cuál) luego divida nuestra solución de números complejos en partes reales e imaginarias para obtener el valor real$\vec{E}$y$c\,\vec{B}$al final. Este truco, y los vectores$\vec{F}_\pm$, se denominan método y vectores de Riemann-Silberstein, respectivamente (en honor a Bernhard Riemann y Ludwik Silberstein ).

Sin embargo, resulta que si en cambio mantenemos solo las partes de frecuencia positiva de ambos $\vec{F}_\pm$( es decir , reemplazamos$\cos(\omega\,t+\delta)$por$\exp(-i\,\omega\,t-\delta)$) exactamente como en el método fasorial, entonces se puede demostrar que un campo polarizado circular completamente a la izquierda tiene un componente de frecuencia positivo cero en$\vec{F}_+$- solamente$\vec{F}_-$es distinto de cero. Del mismo modo, una polarización circular completamente recta tiene solo un cero$\vec{F}_-$parte y el$\vec{F}_+$es distinto de cero.

Entonces, no solo las ecuaciones de Maxwell están diagonalizadas por los valores propios$\pm i\,c$, su diagonalización por este número único y complejo divide los campos precisamente en sus componentes circularmente polarizados.

Isaac, déjame decirte que no eres el único que se siente así. Recientemente había sido tutor de un curso de pregrado (sobre óptica no lineal) y casi me sorprendió descubrir que la mayoría de los estudiantes se confundían en el uso de números complejos. De hecho, en el proceso, tuvieron dificultades para comprender/apreciar también la hermosa física.

En mi opinión, es decepcionante que los disertantes/profesores no enfaticen lo suficiente que la representación compleja de la amplitud del campo eléctrico contiene un término adicional c.c. (o a veces Hc )

cc significa conjugado complejo; Hc significa conjugado hermetiano y puedes ver que la suma de este término haría que la cantidad total (en LHS) fuera real.

Entonces, un campo eléctrico de la forma$E(z,t) = E_0 e^{i(kz - \omega t + \phi_0 )} + c.c.$=$2\cdot E_0 \cos(kz - \omega t + \phi_0)$de hecho describe una onda real/física.

Por supuesto, mientras se hacen los cálculos, puede volverse engorroso llevar el término cc a través de una serie de ecuaciones, por lo que se descarta (pero implícitamente, todavía está allí).

Quizás la razón más simple para justificar el uso de esta representación es que la multiplicación de dos o más ondas de luz, que se pueden encontrar en varios fenómenos como la interferencia, se puede entender simplemente por la suma o resta de los términos en el exponente. Como en, dos olas$e^{i\omega_1 t}$y$e^{i\omega_2 t}$producirá términos$\propto$ $e^{i(\omega_1+\omega_2) t}$,$e^{i(\omega_1-\omega_2) t}$etc.

Compare esto con tener que usar identidades trigonométricas y comprenderá la belleza de usar números complejos en óptica.