Usando la ley de Faraday dos veces

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Usando la ley de Faraday dos veces

Física
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ludz

Tengo problemas para entender la ley de Faraday cuando hay una corriente inducida que a su vez induce otra corriente en el mismo circuito. Ilustraré mi confusión con un problema de tarea y trataré de formularlo por pasos para realmente tratar de señalar la confusión.

Para el siguiente circuito con un solo bucle con una resistencia y una corriente dependiente del tiempo $I_{2}(t)$ La ley de Faraday da:

\oint \vec{mi} \cdot \vec{d yo} = - L_{2} \frac{d I_{2}}{d t} = R_{2} I_{2}

$\begin{equation}\oint \vec E \cdot \vec {dl}=-L_{2}\frac{dI_2}{dt}=R_2I_2 \end{equation}$

dónde $L_2$ es la autoinducción del bucle.

A continuación, veamos el siguiente circuito:

Ahora para este circuito $I_2$ es la corriente inducida de $I_1$ (esto se da como un hecho). El bucle ahora experimenta corriente inducida por el cable largo y esa corriente inducida a su vez da lugar a una corriente autoinducida. Me imagino que la corriente autoinducida ocurre inmediatamente cuando ocurre la corriente inducida del cable, lo que significa que uno tiene dos cuentas para ambas corrientes (o voltajes) al evaluar la integral de bucle cerrado. Estoy un poco inseguro acerca de mi propio razonamiento aquí y fácilmente podría intentar razonar lo contrario de que uno ya no debería tener en cuenta la corriente autoinducida. Sin embargo, con lo anterior, la ley de Faraday debería dar:

\oint \vec{mi} \cdot \vec{d yo} = - L_{12} \frac{d I_{1}}{d t} = R_{2} I_{2} - L_{2} \frac{d I_{2}}{d t}

$\begin{equation}\oint \vec E \cdot \vec {dl}=-L_{12}\frac{dI_1}{dt}=R_2I_2 - L_2\frac{dI_2}{dt} \end{equation}$

Pero esto está mal según mi profesor que escribió

L_{12} \frac{d I_{1}}{d t} = R_{2} I_{2} + L_{2} \frac{d I_{2}}{d t}

$L_{12}\frac{dI_1}{dt}=R_2I_2 + L_2\frac{dI_2}{dt}$

a lo que llamó "ley de voltaje de Kirchoff", lo que implica que estos tres términos son voltajes, lo que me confunde, ya que ¿cómo puede haber tres voltajes cuando solo hay dos corrientes en el bucle (con una sola resistencia), la inducida $I_2$ y el autoinducido de $I_2$ . ¿El bucle en realidad no tiene tres voltajes? Supongo que uno no debería ver la ecuación anterior como tres voltajes en el bucle, sino como dos voltajes en el bucle que tiene que ser igual a un voltaje que no es el bucle debido a la inducción. No solo me confunden los voltajes sino también las señales, creo $R_2I_2$ debe tener signo opuesto a los otros dos términos. ¿Dónde me equivoco y cómo se puede resolver mi confusión?

Gracias de antemano por tomarse su tiempo para leer y tal vez incluso dar alguna aclaración.

Respuestas (2)

Usando la ley de Faraday dos veces

Ján Lalinský · Answer 1

La ley de Faraday, en el primer ejemplo, nos da el valor de la EMF autoinducida como

- L_{2} \frac{d I_{2}}{d t};

$-L_2 \frac{dI_2}{dt};$ esto es en términos de

tasa de cambio de corriente $I_2$ en el bucle y
constante de autoinducción $L_2$ , que siempre es positivo.

no nos dice que

- L_{2} \frac{d I_{2}}{d t} = R_{2} I_{2};

$-L_2\frac{dI_2}{dt} = R_2I_2;$ esta última ecuación es el resultado de la segunda ley del circuito de Kirchhoff, que a veces se denomina confusamente ley de voltaje de Kirchhoff (KVL).

Esta ley en realidad establece lo siguiente:

Para cualquier camino cerrado simple (bucle) hecho de elementos conductores $k=1..N$ , suma de todos los términos $R_k I_k$ , dónde $I_k$ es actual en elemento $k$ , y $R_k$ es su resistencia óhmica, igual a la suma de todas las fuerzas electromotrices $\mathscr{E}_i$ , $i=1..M$ , actuando sobre el bucle:

\sum_{k = 1}^{norte} R_{k} I_{k} = \sum_{i = 1}^{METRO} {mi}_{i} .

$\sum_{k=1}^N R_kI_k = \sum_{i=1}^M \mathscr{E}_i.$

Esta ley puede verse como una generalización de la ley de Ohm que establece que la diferencia de potencial es igual a la resistencia actual; la generalización está en pasar de un elemento simple a un bucle, y en reemplazar la diferencia de potencial por una fuerza electromotriz, un concepto más general.

Esta ley es válida no solo cuando todos los campos electromagnéticos se deben a celdas/baterías químicas en el circuito, sino también cuando algunos o todos los campos electromagnéticos se deben a la inducción EM.

Es por eso que el nombre "ley de voltaje de Kirchhoff" y su formulación en términos de voltajes (la suma de los voltajes en el bucle es igual a cero) a menudo confunde a las personas: aunque siempre es cierto, a menudo no hay voltajes relevantes (= diferencias de potencial) disponibles para usar , pero en su lugar hay campos electromagnéticos. En el presente caso, es necesario utilizar la versión original de la redacción de la ley en términos de campos electromagnéticos.

En su caso simple de un circuito, la suma de todas las fuerzas electromotrices existe, debido a la ley de Faraday, solo la FEM autoinducida:

mi = - L_{2} \frac{d I_{2}}{d t} .

$\mathscr{E} = -L_2 \frac{dI_2}{dt}.$

Entonces la segunda ley de Kirchhoff implica entonces

- L_{2} \frac{d I_{2}}{d t} = R_{2} I_{2} .

$-L_2 \frac{dI_2}{dt} = R_2 I_2.$

En el segundo caso donde tenemos dos circuitos, y el primero tiene corriente total $I_1$ y el segundo tiene corriente total $I_2$ , la suma de todas las fuerzas electromotrices en el circuito 2 ahora también tiene un nuevo término debido a la acción del circuito 1:

mi = - L_{2} \frac{d I_{2}}{d t} - L_{12} \frac{d I_{1}}{d t} .

$\mathscr{E} = -L_2 \frac{dI_2}{dt} - L_{12}\frac{dI_1}{dt}.$

El signo delante del término se pone de nuevo convencionalmente como menos; esta es la elección más natural porque cuando los dos circuitos tienen una forma muy similar, se colocan uno encima del otro y tienen la misma corriente con la misma tasa de cambio, la FEM inducida debido al circuito 1 en el circuito 2 tiene la misma dirección que la propia. -EMF inducida en el circuito 2, por lo que es mejor poner $L_{12}$ como positivo y mantenga el signo menos delante del término.

Sin embargo, en su segundo ejemplo, el primer circuito no tiene "forma similar y está encima del otro circuito". En cambio, aunque el primer circuito no está completamente especificado, podemos ver/asumir que la parte más cercana del circuito 1 está en el lado izquierdo del circuito 2. Seguiremos usando la misma convención y pondremos menos delante del circuito Término EMF, pero ahora es posible que $L_{12}$ puede ser negativo. También puede ser positivo.

Podemos encontrar cuál de estas dos posibilidades es el caso, analizando el efecto de la corriente $I_1$ aumento del flujo magnético a través del circuito 2 (la dirección positiva es desde la pantalla hacia los ojos). Si el efecto es el mismo que el efecto del aumento de $I_1$ , entonces $L_{12}$ es positivo al igual que $L_2$ es. Si el efecto es contrario al del aumento de $I_2$ , entonces $L_{12}$ tiene que ser negativo.

En su imagen, donde el elemento de corriente del circuito 1 más cercano está a la izquierda del circuito 2, vemos que aumenta la corriente $I_1$ aumenta el flujo magnético en la dirección de los ojos hacia la pantalla, lo que es opuesto a lo que aumenta la corriente $I_2$ hace. Entonces la inductancia mutua $L_{12}$ es negativo

Sin embargo, si colocamos el elemento del circuito 1 a la derecha del circuito 2, la dirección del campo magnético debido al circuito 1 en la región del circuito 2 cambiaría a "desde la pantalla hacia los ojos" y, por lo tanto, la inductancia mutua $L_{12}$ sería positivo.

Tu respuesta fue muy útil. Hace $L_2\frac{dI_2}{dt}$ y $L_{12}\frac{dI_1}{dt}$ tienen signos opuestos debido a que el flujo para cada uno está en dirección opuesta de acuerdo con la ley de Lenz? Si ese es el caso y supongamos que los signos son los siguientes $\oint \vec E \cdot \vec{dl}=-L_{12}\frac{dI_1}{dt}+L_2\frac{dI_2}{dt}$ ¿Cómo se debe determinar ahora que esto debe ser igual a $-R_2I_2$ y no $R_2I_2$ ?
No, ambos términos deben escribirse con el signo menos al frente, sin embargo, es posible $L_{12}$ puede ser un número negativo. Así que la fem total es siempre $-L_{12}\frac{dI_1}{dt} - L_2 \frac{dI_2}{dt}$ , y aveces $L_{12}$ es negativo, dependiendo de la posición de los circuitos en el espacio. Ahora use la segunda ley de Kirchhoff como se indica arriba. Obtenemos $-L_{12}\frac{dI_1}{dt} - L_2 \frac{dI_2}{dt} = R_2I_2$ .

Vicente Fraticelli · Answer 2

Disculpa mi pobre ingles. Mi lengua materna es el francés.

Creo que hay una dificultad relacionada con la orientación de los circuitos.

En general, debe escribir: $\oint \vec E \cdot \vec {dl}=- L_2\frac{dI_2}{dt}-L_{12}\frac{dI_1}{dt}=R_2I_2 \$

Pero, con las orientaciones elegidas, el coeficiente $L_{12}$ es negativo Si lo imponemos positivo, entonces debemos cambiar el signo: $\oint \vec E \cdot \vec {dl}=- L_2\frac{dI_2}{dt}+L_{12}\frac{dI_1}{dt}=R_2I_2 \$

Buen punto sobre el caso general. Me acabo de dar cuenta de que uno debe hacer una superposición del campo magnético de $I_1$ y $I_2$ y eso estará en el lado derecho de la ley de Faraday, $\frac{d}{dt}(\phi_{B1}+\phi_{B2})=-L_2\frac{dI_2}{dt}-L_{12}\frac{dI_1}{dt}$ . Corrígeme si estoy equivocado. Sin embargo, todavía no puedo ver por qué $L_{12}$ debe ser negativo con esta orientación (haciéndolo positivo en el lado izquierdo como lo hizo). ¿Y por orientación te refieres a la integral cerrada en el sentido de las agujas del reloj y en el sentido contrario a las agujas del reloj?
en realidad no debería $\phi_{B_1}$ y $\phi_{B_2}$ tienen signos opuestos de acuerdo con la ley de Lenz? Creo que esto solucionará el problema de la señal.
Imagina una corriente positiva $I_1$ . Entonces el campo magnético estaría hacia la parte posterior de la pantalla. Considerando que, con la dirección positiva para $I_2$ indicado, la normal al circuito (2) es hacia nosotros. Entonces para una corriente positiva $I_1$ , el flujo sería negativo y por lo tanto $L_{12}$ es negativo.
Exactamente, el flujo de $I_1$ y $I_2$ está en direcciones opuestas y, por lo tanto, de signo opuesto. Pero, ¿cómo se determina ahora el signo en $R_2I_2$ ?
La regla es simple: la circulación del campo eléctrico a lo largo de la dirección positiva de la corriente (fem) es igual a $Ri$ . Esta es una consecuencia inmediata de la Ley de Ohm. En problemas de inducción, es conveniente tener reglas que se aplican sin tener que pensar en ello. Obviamente, pensar es útil y verificar la ley de Lenz es una buena idea. Pero, a veces, necesitamos hacerlo rápido sin riesgo de error. También es útil tener en cuenta que la inductancia mutua tiene un signo que depende de la elección de las orientaciones relativas de los dos circuitos. Después, escribir la ecuación es fácil.

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