¿La FEM inducida es proporcional al cuadrado del número de vueltas de un solenoide?

Para que esta pregunta sea clara, primero debo dar algo de contexto:

Considere un solenoide de 10 cm de largo (solenoide A) de radio de aproximadamente 1 cm con 400 vueltas.

Deja entrar la corriente$A$,$I_A$, cambia con el tiempo lentamente,$I_A = I_0(t)$para que pueda ignorar la corriente de desplazamiento.

i) ¿Cuál es el flujo magnético instantáneo en el solenoide?

---

El flujo magnético instantáneo en el solenoide está dado por$\Phi =BS$.

el campo magnetico$B$se puede encontrar a partir de la ley de Ampere (ignorando la corriente de desplazamiento):

$$\oint \vec B \cdot d\vec \ell=\mu_0I_{\ell}=\mu_0NI_0(t)\tag{1}$$ dónde$I_{\ell}=NI_0(t)$es la corriente total debida a$N$gira cada uno con corriente$I_0(t)$

el área es$S=\pi \times 10^{-4}$metro${^2}$

Usando$(1)$,$B\,L=\mu_0 N\,I_0(t)$; el campo magnetico$B=\mu_0 \frac{N}{L}I_0(t)$dónde$L$es la longitud del solenoide . el flujo$\Phi$es así

$$\Phi =BS=\mu_0 \frac{N}{L}I_0(t)S=4\pi \times 10^{-7}\times 4\times 10^3 \times \pi \times 10^{-4}I_0(t)=16\pi^2\times 10^{-8}I_0(t)$$ $$\approx 1.5 \times 10^{-6}I_0(t)$$ Cuál es la respuesta correcta.

---

(ii) Se conecta un voltímetro a través del solenoide. El medidor medirá$\oint \vec E \cdot d \vec \ell$integrado a lo largo del cable. Deduzca una expresión para el voltaje medido (ignorando la resistencia).

Por la ley de Faraday, el voltaje inducido por unidad de longitud es

$$\oint \vec E \cdot d \vec \ell= \frac{d\Phi}{dt}=-\mu_0 \frac{N}{L}S\frac{d I_0(t)}{dt}\approx -1.5 \times 10^{-6}\frac{d I_0(t)}{dt}\tag{2}$$ Entonces el voltaje total es $$V=0.1\oint \vec E \cdot d \vec \ell\approx -1.5 \times 10^{-7}\frac{d I_0(t)}{dt}$$

Esta es la respuesta incorrecta y la respuesta correcta es básicamente

$$\bbox[5px,border:2px solid red]{V=400\oint \vec E \cdot d \vec \ell\approx 6 \times 10^{-4}\frac{d I_0(t)}{dt}}$$

---

Por motivos dimensionales, entendí que el LHS de la ley de Faraday,$(2)$da la circulación unitaria del campo eléctrico, o,$\unicode{x222F}(\nabla \times \vec E)\cdot d \vec S$(por el teorema de Stokes).

Pero para encontrar el voltaje$V$ a través del solenoide, debemos integrar a lo largo de su longitud para que las unidades estén dadas por

$\bbox[yellow, 5px] {\text{number of turns}\times \text{rate of change of flux} \propto N \times \frac{d\Phi}{dt}\propto \mu_0 \frac{N}{L}S\frac{d I_0(t)}{dt}\times L}$

Pero en el cuadro marcado en rojo, el autor simplemente está multiplicando por el número de vueltas$N$, lo que significa que dimensionalmente la RHS de la ley de Faraday es

$\bbox[#F85, 5px]{\text{number of turns}^2\times \text{rate of change of flux} \propto N^2 \times \frac{d\Phi}{dt}\propto \mu_0 \frac{N^2}{L}S\frac{d I_0(t)}{dt}}$

Así que ya no tenemos unidades de circulación, pero lo más preocupante es que las unidades van como el cuadrado del número de vueltas. ¿Es esto realmente correcto?

Revisé la ley de inducción de Faraday, así que sé que

$$\mathcal{E} = -N\frac{\mathrm{d}\Phi_B}{\mathrm{d}t}\ne -N^2\frac{\mathrm{d}\Phi_B}{\mathrm{d}t}$$ Claramente, me estoy perdiendo el punto, así que si alguien pudiera explicarme, sería genial.