Ley de Faraday para una placa conductora tridimensional que se mueve en un campo magnético uniforme

Actualización
Reformulé algunas cosas y agregué algunos detalles adicionales después de conversar con el OP.

Pregunta 1: ¿Cómo puedo demostrar formalmente que este campo eléctrico conservativo es$\mathbf{E} = -\mathbf{v} \times \mathbf{B}$aparte de con argumentos dinámicos?

El resto de esta pregunta no es realmente necesario, así que solo pongo la primera parte. El campo eléctrico surge debido a una transformación de Lorentz , nada más. Los campos eléctrico y magnético se transforman según:

$$\begin{align} \mathbf{E} & = \gamma \left( \mathbf{E}' - \frac{ \mathbf{V}_{o} }{ c } \times \mathbf{B}' \right) - \frac{ \gamma^{2} }{ \gamma + 1 } \frac{ \mathbf{V}_{o} }{ c } \left( \frac{ \mathbf{V}_{o} }{ c } \cdot \mathbf{E}' \right) \tag{0a} \\ \mathbf{B} & = \gamma \left( \mathbf{B}' + \frac{ \mathbf{V}_{o} }{ c } \times \mathbf{E}' \right) - \frac{ \gamma^{2} }{ \gamma + 1 } \frac{ \mathbf{V}_{o} }{ c } \left( \frac{ \mathbf{V}_{o} }{ c } \cdot \mathbf{B}' \right) \tag{0b} \end{align}$$ dónde$\mathbf{V}_{o}$es la velocidad del marco en movimiento (cebado) en relación con uno estacionario (no cebado) y$\gamma$es el factor de Lorentz .

Si observa la Ecuación 0a para el caso con$\mathbf{E}' = 0$, es decir, cero campo eléctrico en el marco de descanso de la hoja y se supone que$\mathbf{V}_{o}/c \ll 1$, entonces se reduce a$\mathbf{E} \approx -\tfrac{ \mathbf{V}_{o} }{ c } \times \mathbf{B}$. Por lo tanto, en el marco del laboratorio donde se mueve la hoja, habrá un campo eléctrico ortogonal a la normal exterior de la hoja. El resultado neto está muy relacionado con algo llamado efecto Hall . Algunos de los electrones en el conductor podrán moverse y migrarán de un lado (el campo eléctrico está dentro de la página en su ejemplo, por lo tanto, los electrones intentarán moverse hacia el lado fuera de la página).

Como puede ver, no necesita traer el teorema de Stokes ni nada más. Es solo la consecuencia de un conductor que se mueve en un campo magnético uniforme y estacionario que resulta en un campo eléctrico debido a una transformación de Lorentz. Es decir, en el límite que$\mathbf{V}_{o}/c \rightarrow 0$el campo eléctrico desaparecerá.

Pregunta 2: ¿Es este uno de esos casos de paradoja de Faraday?

No, nada que ver con eso.

Ahora, a partir de los resultados, el libro quiere que encuentre$\sigma$usando la misma fórmula de un capacitor simple con vacío entre las placas. Pero solo los electrones de conducción se desplazarían, todas las demás cargas quedarían atrapadas. Este no es el caso en el que las cargas están (macroscópicamente) separadas por vacío.

Creo que estás complicando demasiado esto. Sabes cuál es el campo eléctrico que experimenta cada lámina conductora. Por lo tanto, puede resolver la ley de Gauss utilizando el enfoque habitual de dibujar una caja de pastillas que entre parcialmente en cualquiera de los dos conductores, pero no del todo. Por lo tanto, habrá una carga neta encerrada cuando esto se haga en cualquiera de los dos conductores. Tenga en cuenta que el campo eléctrico debe ser el mismo que el anterior, es decir,$\mathbf{E} \approx -\tfrac{ \mathbf{V}_{o} }{ c } \times \mathbf{B}$(o$\mathbf{E} \approx -\mathbf{V}_{o} \times \mathbf{B}$si prefiere unidades SI). Es decir, la carga inducida es resultado del campo eléctrico externo y no pueden generar más campo fuera del conductor, ya que violaría la conservación de energía. Quizás visto de otra manera, el campo externo induce la carga en el conductor de tal manera que el campo eléctrico del conductor coincide con el del campo eléctrico externo. Esto sucede porque los campos eléctricos trabajan para deshacerse de ellos mismos. Notará que dentro del conductor, el campo eléctrico neto será cero (p. ej., piense en la ley de Ohmen el límite de conductividad infinita). Si "encendemos" el campo eléctrico externo desde un estado cero, habría un período corto de tiempo en el que los electrones se moverían dentro del conductor en reacción al campo externo, pero una vez estático, el campo neto dentro del conductor sería cero.

Pregunta 3: ¿Cómo podría usar la ley de Gauss para obtener$E = \tfrac{ \sigma }{ \varepsilon_{o} }$?

Como dije anteriormente, trate cada placa del capacitor como una cosa aislada y luego haga el dibujo habitual de la caja de pastillas, etc. Es literalmente lo mismo que un capacitor real conectado al circuito (por el bien de este paso en la solución/pensamiento experimento).

¿Están las cargas realmente distribuidas uniformemente?

Sí, deben estar y deben estar en el límite exterior de un conductor. Como dije, los campos eléctricos funcionan para deshacerse de sí mismos. La distribución de carga aparecerá como si un lado de la placa fuera negativo mientras que el otro es positivo, pero el campo eléctrico neto dentro del conductor seguirá siendo cero (en el límite de la conductividad infinita).

Como el ancho finito$c$de la placa, ¿no se desplazarían los electrones hacia el verso negativo de la velocidad (debido a la componente resultante de la fuerza de Lorentz durante su movimiento)?

No, los electrones se mueven en dirección opuesta a un campo eléctrico. Según su geometría aquí, el campo eléctrico se dirige a la página. Por lo tanto, los electrones se moverán en la dirección hacia afuera de la página, es decir, el lado que mira hacia donde usted ve la placa aquí. El movimiento de la placa es irrelevante para los electrones en ausencia de campos electromagnéticos externos. La aceleración podría, temporalmente, alterar la distribución de electrones dentro de la placa si la aceleración fuera increíblemente fuerte, pero este es un problema completamente diferente.

Pregunta extra: ¿qué pasaría en el marco de referencia de la placa?

Como puede ver en mis comentarios anteriores, el campo eléctrico externo en el marco de reposo de la placa es cero, es decir,$\mathbf{E}' = 0$. Sin embargo, la placa ahora tiene una polarización, por lo que tendrá su propio campo eléctrico que coincidirá con el signo y la magnitud del campo eléctrico original,$\mathbf{E}$, por las razones que expongo anteriormente.

Ahora, a partir de los resultados, el libro quiere que encuentre$\sigma$usando la misma fórmula de un capacitor simple con vacío entre las placas.

Si suponemos que las dos placas paralelas están conectadas por un cable y una resistencia, entonces esto constituiría un circuito RC simple , donde el campo eléctrico externo actuaría de manera análoga a que haya una fuente de alimentación de CC como parte del circuito. Técnicamente, creo que esto actuaría como un divisor de voltaje de filtro RC de paso bajo , pero con un principio similar. Tenga en cuenta que esto está en el límite ya que la frecuencia de oscilación de la fuente de alimentación de entrada llega a cero, es decir, estado estático/estacionario. En este límite, la distribución de carga es estática y no hay descarga mientras el campo externo continúe existiendo y trabajando en el circuito.

Para aclarar, si comenzamos las placas paralelas (con elementos de circuito adjuntos) en reposo y comenzamos a movernos en$\mathbf{v}$(ignore la aceleración), las placas paralelas se comportarán como un capacitor y se cargarán durante un período de tiempo relacionado con la magnitud de la resistencia en el circuito y la capacitancia del capacitor, es decir, el tiempo RC . Una vez cargadas las placas, el circuito será estático. Tenga en cuenta que en este escenario, el movimiento a través del campo da como resultado la experiencia de un campo eléctrico externo, que es estático. Esto puede funcionar en el sistema como una fuente de alimentación de CC (por ejemplo, una batería). El resultado es que el circuito es como un circuito RC con una fuente de alimentación de CC en el límite estático, es decir, mucho después de que el circuito comenzó a moverse en$\mathbf{v}$. Luego, la resistencia y el capacitor tendrán caídas de potencial entre ellos, al igual que el circuito equivalente. Entonces, de acuerdo con la ley de Ohm, todavía debe haber una caída de voltaje, al igual que el circuito equivalente. En el límite de un condensador perfecto, la corriente puede dejar de fluir (por ejemplo, consulte las respuestas a https://electronics.stackexchange.com/q/135632 ).

La fuerza de Lorentz se aplica a cargas eléctricas en movimiento, por lo que las cargas contenidas en el avión se mueven con una velocidad$v$. Debido al hecho de que$v$y$B$son perpendiculares, la fuerza$\vec{F} = q \vec{v} \times \vec{B}$está apuntando "a la izquierda" para las cargas positivas y "a la derecha" para las negativas.

Para el segundo punto piensa en la simetría del plano.

Para el tercer punto, piense que el campo eléctrico generado por la fuerza de Lorentz es$\vec{E} = \vec{F} /q = \vec{v} \times \vec{B}$y la diferencia de potencial se puede ver como$V = Ec$(la fuerza eléctrica entre las cargas "separadas" es igual a la fuerza de Lorentz cuando el sistema está en equilibrio).

Usar tu fórmula para la fuerza electromotriz no tiene sentido porque el campo magnético$B$y la geometría del plano son constantes, por lo que no hay cambios en el flujo de$B$(su suposición es correcta pero no útil en este caso).

Ahora debe tener todo el conocimiento para obtener el resultado dado por su libro.