Definición restrictiva de matriz diagonalizable

Esta es una propiedad que podría motivar la restricción: sea$k\in \Bbb N$,

• si$A=P^{-1}DP$, entonces$A^k = (P^{-1}DP)^{k} = P^{-1}D^kP$con$(D^{k})_{i,i}=D_{i,i}^k$.

• si$B \neq C^{-1}$entonces$C^{-1}B^{-1}\neq I$, y entonces$A^k = (B^{-1}DC^{-1})^k=\ldots=(B^{-1}DC^{-1})^k$...

No todas las matrices se pueden diagonalizar, en el sentido de que$D = P^{-1}AP$(implícito en esta declaración, por supuesto, es que$P$es reversible). Uno de los ejemplos clásicos es

$$\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$$

(o puede tener$0$'s en la diagonal, si lo desea). Para mostrar que esto no es diagonalizable, primero debemos mostrar "$A$es diagonalizable si y solo si tiene$n$vectores propios linealmente independientes".

Solo mostremos una dirección: asumir$A$es diagonalizable, mostraremos que tiene$n$vectores propios linealmente independientes.

si podemos escribir$D = P^{-1}AP$, entonces$e_1 = (1,0,0,\dots,0), e_2 = (0,1,0,\dots,0)$, etc. son vectores propios de$D$, con valores propios correspondientes a las entradas de$D$. Entonces$A$tiene los mismos valores propios (este es un hecho sobre la similitud). Más,$v_1 = Pe_1$es un vector propio de$A$:

$$Av_1 = APe_1 = (PDP^{-1})Pe_1 = PDe_1 = \lambda_1 Pe_1 = \lambda_1 v_1$$

y de manera similar para$v_2 = Pe_2$, etc. Finalmente, estos vectores propios$v_1,\dots,v_n$de$A$debe ser linealmente independiente (ya que$e_j$'s fueron, y desde$P$es reversible).

Por lo tanto, si una matriz no tiene un conjunto máximo de vectores propios linealmente independientes, entonces no puede ser diagonalizable.

Ahora solo necesitamos observar que el único valor propio de mi matriz original es$\lambda = 1$, eso

$$A - \lambda I = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix},$$ que solo tiene un núcleo unidimensional y, por lo tanto, no puede haber dos vectores propios linealmente independientes.

Entonces, cada matriz puede ser "cuasi-diagonalizada" (en el sentido de que$D = BAC$, mientras escribe), pero no necesariamente "verdaderamente diagonalizado" (es decir,$D = P^{-1}AP$, o en otras palabras, que en la cuasi-diagonalización, puedes tener$B = C^{-1}$).

O dicho de otra manera "no todas las matrices son similares a una matriz diagonal".

Lo que está confundiendo aquí son las nociones de equivalencia para matrices rectangulares y similitud para matrices cuadradas. El primero es relevante para clasificar aplicaciones lineales entre espacios vectoriales distintos (de dimensión finita), donde se permite elegir dos bases de forma independiente en ambos espacios vectoriales. Este último relevante para clasificar operadores lineales en unoespacio vectorial (mapas lineales del espacio a sí mismo). En esta situación es natural permitir elegir una sola base, ya que es la que permite comparar vectores antes y después de la aplicación del operador lineal. La definición de vectores propios es un ejemplo de tal comparación. La elección de una sola base también es claramente relevante cuando se quiere aplicar el operador varias veces, ya que para que una composición de mapas lineales corresponda a un producto de matrices, se deben expresar las matrices usando la misma base en el espacio vectorial intermedio.

La clasificación de matrices rectangulares bajo equivalencia dice que aparte de la forma, el rango es el único invariante: todas las matrices de la misma forma y rango son equivalentes, y el representante estándar de la clase de equivalencia con rango$~r$tiene como únicos coeficientes distintos de cero$r$Copias de$1$en las entradas iniciales de la diagonal principal. Entonces, para fines de equivalencia, cada matriz rectangular no solo se puede llevar a la forma diagonal, sino incluso a una con todas las entradas diagonales$1$o$0$. La clasificación de matrices cuadradas bajo similitud es mucho más sutil; todos los coeficientes no principales del polinomio característico son invariantes (cada uno puede tener un elemento de campo arbitrario como valor, a diferencia del rango que tiene muy pocos valores posibles), e incluso estos invariantes no caracterizan todas las clases de similitud. Las clases más simples son las de matrices diagonales, y las matrices de esas clases se llaman diagonalizables. Aquí el conjunto de entradas diagonales de una matriz diagonal en una clase dada se arregla en orden, mostrando nuevamente cuánto más restringida es la situación para la cuestión de la similitud.