Unitaridad y renormalizabilidad

La unitaridad dice que las probabilidades de cualquier evento son menores que$1$. Obviamente, este es un requisito esencial para una teoría cuántica dada y si una teoría no es unitaria, para que describa la naturaleza, necesariamente le falta alguna información que solucione este problema (como nuevos estados y/o interacciones).

La renormalizabilidad simplemente dice que la teoría requiere un número finito de contratérminos para hacer predicciones. Una vez que se calcula este conjunto de términos finitos, puede continuar y hacer predicciones para eventos de dispersión y olvidar que alguna vez tuvo que volver a normalizar su teoría. Esta es una propiedad bastante especial y de ninguna manera es un requisito esencial para una teoría y se pueden desarrollar teorías cuánticas que no tengan esta propiedad.

El hecho de que la renormalizabilidad y la unitaridad siempre estén relacionadas entre sí es una propiedad sutil de las teorías cuánticas de campos. La razón es que una teoría no es renormalizable si tiene constantes de acoplamiento de dimensión de masa negativa (no conozco una razón simple, pero estoy seguro de que hay una...). Estos términos de dimensión de masa negativa pueden conducir a la no unitaridad en una teoría a altas energías.

Para ver cómo funciona esto, considere una teoría de campo escalar real con un operador no renormalizable,

$$\begin{equation} \Delta {\cal L} =\frac{1}{6!} \frac{\lambda}{M^2} \phi^6 \end{equation}$$

Si ahora considera la dispersión de 2$\phi$para producir 4$\phi$la amplitud viene dada por,

$$\begin{equation} {\cal M} = \frac{\lambda}{M^2} \Rightarrow \left|{\cal M}\right|^2 = \frac{\lambda^2}{M^4} \end{equation}$$ Pero las secciones transversales tienen unidades de $mass^{-2}$y así, por análisis dimensional, la sección transversal debe ser aproximadamente de la forma, $$\begin{equation} \sigma \sim \frac{\lambda^2}{M^4} p^2 \end{equation}$$ dónde $p$es el impulso del proceso (esto puede parecer un poco diferente para una teoría masiva, pero tomémoslo sin masa por simplicidad).

Observe que la sección transversal se expande como$p$se hace muy grande. Por lo tanto, en un punto, la probabilidad será mayor que$1$. Por lo tanto, esta teoría no debe ser unitaria. Dado que sabemos que las teorías no renormalizables no son unitarias, pensamos en estas teorías como teorías efectivas que requieren nuevas interacciones en torno a la escala en que rompen la unitaridad[*].

Por último, tenga en cuenta que para solucionar el problema de la unitaridad necesitamos la dependencia del momento en el denominador. Esto proviene de un propagador en lugar de un acoplamiento y, por lo tanto, de nuevos estados.

[*]Esta es la tendencia general, no sé si es una declaración rigurosa o no.

Para hacerlo mas simple:

La renormalizabilidad es la característica de que la teoría que conoce a escalas de baja energía se puede extrapolar a escalas de energía "arbitrariamente altas", sin perder consistencia.

Ahora algunas observaciones:

1. Cuando dice que una teoría viene con un límite y aparentemente no funciona más allá de ese límite, entonces está viendo que algo (que depende de la escala) se descompone, por ejemplo: unitaridad. No conozco ejemplos de nada más que se descomponga (no creo que sea factible que la invariancia de calibre o la invariancia de Lorentz se descompongan en alguna escala, siempre que su teoría de calibre esté libre de anomalías)

   Eche un vistazo a la respuesta de @JeffDror y los comentarios al respecto.

   Generalmente, cuando ve una teoría no renormalizable que falla en alguna escala de energía, es posible mejorar su comportamiento de alta energía agregando más grados de libertad. (¿Es esto siempre posible? No tengo un argumento claro, ni intuición para esto).

2. Por el contrario, si una teoría es renormalizable, entonces es mejor que esté libre de violación de unitaridad, al menos cuando se extrapola a la UV. Pero extrapolarlo al IR podría ser un asunto bastante diferente.

3. Si tienes una teoría no unitaria, eso significa que tienes algún tipo de disipación. En tal caso, a menos que pueda protegerse de disipar energía/probabilidad en esos modos "ocultos", no creo que pase un momento agradable tratando de extrapolarlo a la UV. Los operadores que son irrelevantes en UV se vuelven relevantes en IR.

Creo que la unitaridad es una característica "fundamental" que se encuentra en el corazón de la mecánica cuántica (tal como la conocemos). La falta de unitaridad en una teoría cuántica indica una grave pérdida de previsibilidad o algún tipo de mal comportamiento. Por otro lado, cualquier no renormalización parece ser una consecuencia de su entusiasmo excesivo por extrapolar su teoría a escalas de energía más altas, lo que a menudo resulta en que algo importante salga mal, y no hay muchas otras cosas que puedan aparentemente van mal aparte de la unitaridad.

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Esta respuesta expresa mis opiniones, por lo que no tiene autoridad. Agradezco más comentarios y cualquier corrección.