Unidades en constante gravitacional

Bueno, la forma de encontrar las unidades de la constante es considerando la ecuación en la que participa:

$$F = G\frac{m_1 m_2}{r^2}$$

$F$es una fuerza: entonces se mide en newtons ($\operatorname{N}$). Un newton es la fuerza requerida para dar a un kilogramo una aceleración de un metro por segundo por segundo: entonces, en unidades SI, sus unidades son$\operatorname{kg}\operatorname{m}/\operatorname{s}^2$.$m_1$y$m_2$son masas: en unidades SI se miden en kilogramos,$\operatorname{kg}$, y$r$es una longitud: se mide en metros,$\operatorname{m}$.

Entonces, nuevamente en unidades SI podemos reescribir lo anterior como algo así

$$\phi \operatorname{N} = \phi \operatorname{kg} \operatorname{m}/\operatorname{s}^2 = G \frac{\mu_1 \mu_2}{\rho^2}\frac{\operatorname{kg}^2}{\operatorname{m}^2}$$

dónde$\phi$,$\mu_1$,$\mu_2$y$\rho$son números puros (son los valores numéricos de las distintas cantidades en unidades SI). Así que necesitamos obtener las dimensiones de esto para que tenga sentido, y al hacer esto es inmediatamente evidente que

$$G = \gamma \frac{\operatorname{m}^3}{\operatorname{kg} \operatorname{s}^2}$$

dónde$\gamma$es un número puro, y es el valor numérico de$G$en unidades SI.

Alternativamente, si volvemos a poner newtons en el lado izquierdo, obtenemos

$$G = \gamma \frac{\operatorname{N} \operatorname{m}^2}{\operatorname{kg^2}}$$

El primer conjunto de unidades es de hecho igual al segundo. Si reemplazas el Newton en la segunda expresión por su definición en términos de kilogramos, metros y segundos

$$1 N = 1 \frac{\mathrm{kg ~ m}}{\mathrm{s^2}}$$

recuperas la primera expresión.

El sistema SI tiene una serie de unidades básicas ( metro, kilogramo, segundo, amperio, kelvin, mol y candela ). Todas las demás unidades se definen en base a estos siete, y en realidad no son más que abreviaturas convenientes en notación.

El significado de la segunda expresión, que imagino que es la que más te resulta familiar, es que es el número que debes multiplicar por las masas de dos objetos (de ahí el$\mathrm{kg^{-2}}$) y dividir por el cuadrado de la distancia entre ellos (de ahí el$\mathrm{m^2}$) para que recuperes la fuerza de gravedad que los objetos ejercen entre sí.

El significado de la primera expresión es exactamente el mismo , porque es la misma expresión. Simplemente ha sido oscurecido por una notación menos familiar, reemplazando el Newton fácilmente reconocible por sus unidades componentes. Tratar de intuir directamente su significado mirando las unidades no es imposible, pero es innecesariamente confuso. Una vez que haya verificado que ambas expresiones son idénticas, le aconsejo que no se preocupe demasiado por el 'significado' de las unidades en la primera expresión.

En cuanto a su última pregunta, no, no lo haría. Esto se debe a que la ecuación de la fuerza gravitacional debe generar una fuerza y ​​tener en cuenta las masas de ambos objetos, así como el cuadrado de la distancia entre ellos. Por lo tanto, la constante gravitacional debe tener unidades que coincidan.

Espero que esto ayude.

Para responder a esto necesitamos echar un vistazo a la ecuación$F_g=Gm_1m_2/ d^2$. Entonces, si G se mide en$\rm m^3/kg~s^2$, y la masa se mide en kg y la distancia se mide en m, entonces la fuerza se mide con$\rm m^3/kg ~s^2 \cdot kg^2/m^2$, que se simplifica a$\rm kg~m/s^2$

Y ahora a definir$\rm kg~m/s^2$su instinto podría ser dividirlo en$\rm m/s^2$y kg. Si$\rm m/s^2$es una unidad de aceleración y kg es una unidad de masa, entonces la fuerza debe ser masa por aceleración. Esto lo describe la segunda ley de movimiento de Sir Issac Newton PRS que describe:

$F=ma$

Entonces tiene sentido que la constante gravitatoria G se mida en$\rm m^3/kg^1~s^2$.

Es un problema.

Las constantes aluden a números puros, por lo que es divertido que una constante tenga unidades de medida.

Es un problema de ajuste. Encuentras, o adivinas, que algo depende de otra cosa, proporcionalmente como cuando x va de 3 a 4, y va de 6 a 8, (entonces y=2*x donde 2 es una constante) o inversamente proporcional (y=x/ 2), así que cuando esté satisfecho de haber encontrado todo lo que puede afectar ese algo, tendrá su ecuación, como y=a x^2+bx+c, la cuadrática simple en una dimensión o algo así como w=x y.

El último paso es agregar constantes para que los números coincidan con los resultados.

Sin embargo, si según sus principios de unidades de medida, las unidades no coinciden, tiene un problema. Se sacrificará por esto si su constante se mantiene aunque tenga unidades, pero tal vez tenga en cuenta que hay más en la ecuación que esta simplificación o, por supuesto, que su idea original de las unidades de medida tiene un defecto. Es más complicado redefinir sus primeros principios, es decir, la velocidad no es metros/segundos, así que dejemos eso por ahora.

La ecuación gravitacional en esta forma también es muy similar a la ley de Coulomb, demasiado similar de hecho, ambas son en su mayoría guías para decir que la fuerza es proporcional a las masas de los objetos e inversamente proporcional al cuadrado de su distancia (en el caso de la gravedad)

Obtienes cuadrados limpios con la fuerza gravitatoria, es decir, (kg/m)2, por lo que si todo está elevado al cuadrado, quizás te preguntes cuánto es kg/m.

Por ejemplo: los cuadrados aparecen cuando agrega cosas a través de la integración, las integrales son otro concepto matemático excelente que, sin embargo, al menos gráficamente, es una aproximación.

Entonces decimos que si y=x^2 entonces dy/dx=2x y la integración es lo contrario de la diferenciación, usando la notación 'Integral de x' como I(x), entonces I(2x)=2*(x^2)/ 2 + K (siempre sumamos una constante de integración para la parte que falta.

Así que tal vez la fuerza (gravitatoria) sea f=I(algo) de modo que termine al cuadrado.

La fuerza es un animal divertido. Tienes cosas como impulsos como tienes cosas como energía, trabajo y potencia, todos ellos conceptos en física, conectados. Por ejemplo, iirc work=power*time, pero eso es solo sentido común, así que me detendré aquí.

Agregado:

Para comenzar a pensar en kg/m y qué es eso, una cosa que me vino a la mente, estos dos están conectados cuando algo viaja una distancia, ¿cómo depende la distancia de la masa? Bueno, ciertamente cuando tienes fricción, la masa importa. También puedes pensar en la densidad, que es masa/volumen.

Así que F~volumen^2 y tal vez F=volumen algo, eso lo devuelve a kg m/s^2. algo que en lo local perceptible es estable, constante. Eso sí, si F=I(x) y tiene m/s^2, existe una relación integral entre la velocidad y la aceleración (s=v t +a t/2) donde s es la distancia, v es la velocidad, a es la aceleración y el tiempo t. Tenga en cuenta que la integración también es subjetiva, se integra sobre algo, por lo que si w = x y y tanto x como y son variables, puede integrar w sobre x y puede integrar w sobre y. Estos son / (pueden ser) aditivos siempre que sean independientes porque si y = f (x) puede ir a una sola variable w = x f (x) => w = g (x)

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$G$es una constante experimental requerida para igualar la energía potencial de Newton para experimentar. La energía potencial de Newton es

$$E_P = - \frac{GM m}{r} ~.$$ Dividiendo por la energía$m c^2$obtienes el potencial adimensional $$V = -\frac{GM}{c^2r} ~.$$ Desde$V$es adimensional$GM/c^2$es una longitud. Esta longitud se interpreta como la mitad del radio de un agujero negro con masa M,$r_M/2$. G tiene dimensión$m^3 kg^{-1} s^{-2}$. Por lo tanto, también puede escribir el potencial adimensional como $$V=r_M/2r$$ donde la única constante es una longitud con una interpretación clara aunque exótica.

Esto podría ayudarte a visualizar$G$el valor de y lo que significan sus unidades en un sentido físico.

Considere un sistema con una partícula sentada en el espacio a una unidad de distancia de una unidad de masa, digamos un grano de polvo que está a un metro de una$1kg$roca. Dado:

$$F = ma = G \frac{M m}{r^2} ~,$$ y con$M$y$r$ambos$1$, podemos ver que la aceleración gravitacional de la partícula hacia la roca,$a$, es numéricamente igual a$G$.

Las unidades también funcionan porque (anulando la masa de partículas$m$y unidades de inserción):

$$a (ms^{-2}) = G (m^3kg^{-1}s^{-2}) \frac{1(kg)}{1^2 (m^2)}$$

Eso es interesante: la partícula en ese momento está acelerando hacia la roca en$6.67 \times 10^{-11}ms^{-2}$, y en cualquier sistema de unidades,$a = G$, numéricamente.

Ahora, imagine que la partícula está orbitando la roca y manteniendo un radio orbital de distancia unitaria. ¿Cuál es su velocidad angular? Usando$a = \omega^2r$(y manteniendo$r$como un metro), vemos$\omega^2 = G$, numéricamente.

Eso significa que$\omega = \sqrt G$. Para las unidades métricas, nuestra partícula se mueve alrededor$8\mu rad/s$, o$122,000s$por radian, y eso es una órbita cada 9 días.

La velocidad angular tiene unidades de ángulos (quedémonos con radianes) por unidad de tiempo,$\theta/s$, pero los ángulos son una razón sin unidad de$arclength/radius$, por lo que normalmente veríamos$\omega$con unidades de solo$s^{-1}$.

Hemos estado imaginando la masa central como una roca, pero podría ser cualquier esfera cocéntrica (hasta el radio de la órbita) siempre que la masa vista en el centro de masa no haya cambiado, es decir, estamos manteniendo constante la densidad media del espacio dentro de la órbita. Supongamos que es un$1kg$esfera de un material de baja densidad que tiene exactamente un metro de radio, por lo que la órbita de la partícula ahora cruza justo sobre la superficie. Y supongamos que hacemos que la característica definitoria de la órbita: no es un$1$una órbita de un metro, sino una órbita que recorre la superficie de una esfera de unidad de radio y unidad de masa .

Esto significa que hemos reducido la gravedad a dos componentes: para un valor dado de$G$en algún sistema de unidades, relacionamos la densidad de la esfera (una relación entre la masa y la distancia$^3$), y el$\omega^2$(eso es$1/$tiempo$^2$) de la partícula que orbita justo por encima de su superficie.

Si en un universo diferente, donde$G$es más grande, entonces puedes mantener la misma esfera y la partícula necesitará ir más rápido, o puedes reducir la densidad (bajar la masa o aumentar el volumen) de la esfera y mantener la misma velocidad. Entonces$G$te dice, para un universo dado, la proporción de$\omega^2$a la densidad de la esfera, en unidades de su elección.

En otras palabras,$G$tiene unidades de$\frac{\omega^2}{mass/volume}$, cual es$1/time^2 \times \frac{volume}{mass}$.

En métrico, lo llamamos$m^3kg^{-1}s^{-2}$. Una vez que tenga la partícula orbitando esa esfera en su registro visual, e imagine flexionando la masa o el volumen de la esfera, o haciendo que la gravedad sea más fuerte o más débil, y vea lo que la partícula tiene que hacer para seguir orbitando, verá que$G$ tiene que tener esas unidades. Está en la naturaleza de la estructura.

La interpretación más directa, una que trasciende la división de paradigmas entre física relativista y no relativista, y está conectada a la ecuación de Raychaudhuri, es en términos de la contracción del volumen.

Una nube que rodea un cuerpo de masa.$M$, cuyos constituyentes están todos en movimiento radial, tiene un volumen que en función del tiempo$V(t)$satisface la ecuación

$$\frac{d²V}{dt²} - \frac{2}{3V} \left(\frac{dV}{dt}\right)^2 = -4πGM.$$ Si inicialmente está estacionario, entonces la aceleración inicial del volumen, bajo la fuerza de la gravedad, es$-4πGM$, el negativo indicando que empieza a contraerse.

Entonces, las unidades de$GM$son metros cúbicos por segundo, por segundo.

La generalización de esto a un$n + 1$espacio-tiempo dimensional es

$$\frac{d^2V}{dt^2} - \frac{n-1}{nV} \left(\frac{dV}{dt}\right)^² = -n \frac{π^{n/2}}{(n/2)!} G_n M,$$ usando la convención$(-1/2)! = \sqrt{π}$, dónde$G_n$es el$n$-versión dimensional del coeficiente de Newton; cuyas unidades serían metroⁿ/(segundo² kilogramo).