¿La constante gravitatoria GGG es un número racional o un número irracional?

Las constantes fundamentales tienen valores arbitrarios ya que dependen de la medida que uses para medirlas. Entonces podríamos hacer $G$racional usando unidades donde$G=1$. Así que la pregunta no tiene sentido allí.

Sin embargo, en física la gente suele preferir los números adimensionales para denotar los parámetros fundamentales del universo por este motivo. Quizás la más conocida es la constante de estructura fina

Esto es imposible de saber, porque todas las constantes físicas son cantidades medidas, y todas las cantidades medidas vienen con cierta incertidumbre, pero necesitas saber la expansión decimal completa de una cantidad para saber si es racional o irracional.

La otra pregunta, por supuesto, es "¿en qué unidades?". Pero lo primero es cierto sin importar las unidades que use, por lo que es discutible.

La excepción a esto son artificios como la velocidad de la luz en unidades SI, que se fija en exactamente 299792458 m/s por las definiciones de metro y segundo, y por lo tanto, un "número racional", de una manera trivial.

Me gustaría agregar algunos comentarios a esta discusión.

La constante gravitacional de Newton tiene dimensiones. Este es el punto de la respuesta de Gandalf61: Podemos definir la dimensión de$G_N$configurando$G_N = 1$o haciendo alguna otra convención, o podemos intentar calcular$G_N$en términos de otro parámetro dimensional. En este último caso, la pregunta original de Firdous tiene sentido. Si tenemos un parámetro dimensional$A$, podemos tratar de demostrar una ecuación$G_N = C \cdot A$y pregunta si$C$es un número entero.

En la teoría cuántica de campos, solemos trabajar en "unidades naturales" en las que$c = 1$y$\hbar = 1$. Entonces$G_N$tiene las dimensiones de (masa)$^{-2}$. Si$M$hay algo de masa en la teoría, podemos preguntarnos si la teoría puede predecir$G_N = C \cdot M^{-2}$, dónde$C$es un número entero.

De hecho, existe una teoría en la que esto es posible. Existe un modelo de teoría cuántica de campos llamado "modelo sigma no lineal" en el que los campos toman valores como una esfera en lugar de, como es habitual, un espacio euclidiano plano. El radio de la esfera es una cantidad llamada$F_\pi$, que tiene las dimensiones de masa. A continuación, considere la generalización supersimétrica de este modelo. En 1982, Edward Witten y Jonathan Bagger estudiaron el acoplamiento de este modelo a la supergravedad. Descubrieron que existen restricciones topológicas que solo pueden satisfacerse si$G_N = m/F_{\pi}^2$, dónde$m$es un entero! Véase Witten y Bagger, Physics Letters B115, 202 (1982).

Este modelo es muy artificial. También requiere una gran cantidad de equipaje teórico sofisticado para comprender. Eso es probablemente de esperar; encontrar una ecuación para la constante de Newton no es un problema fácil de resolver. Sin embargo, proporciona una prueba de existencia concreta de que una solución al problema de Firdous puede ser posible.

Primero, el valor numérico de una cantidad dimensional en física no es particularmente significativo, porque siempre puedo cambiar a un sistema diferente de unidades donde tenga el valor numérico que desee. Por ejemplo, es muy común en física gravitatoria trabajar en unidades donde el valor numérico de$G$es exactamente igual a 1.

Aún así, puede hacer su pregunta sobre cantidades adimensionales . Un ejemplo donde$G$hace acto de presencia sería la proporción de la mitad del radio de Schwarzschild de la Tierra,$2 GM_\oplus/c^2 \approx 1\ {\rm inch}$(dónde$M_\oplus$es la masa de la Tierra), al radio real de la Tierra,$R_\oplus=6400\ {\rm km}$. La proporción (llámese$C_\oplus$) es aproximadamente$\alpha=1.4 \times 10^{-9}$, y nos dice que necesitaríamos comprimir la Tierra alrededor de mil millones de veces su tamaño actual (lineal) para formar un agujero negro. Es$C_\oplus$¿racional o irracional?

Para poder$C_\oplus$para ser irracional, necesitaríamos conocer su valor con una infinidad de decimales y demostrar que no se repiten. Hay algunos problemas aquí.

• Eventualmente, cuando empecemos a computar$C_\oplus$con muchos lugares decimales, encontraremos que las suposiciones en el modelo simple con el que comenzamos (como que la Tierra es una esfera) se rompen. A nivel microscópico, ni siquiera es realmente posible definir el tamaño de la Tierra a lo largo de un eje, ya que las moléculas en la corteza terrestre se mueven al azar y hay efectos cuánticos que significan que las posiciones de estas moléculas se dispersan. ¡Hay muchas fuentes físicas de incertidumbre que significan que este número ni siquiera está bien definido más allá de un cierto número de lugares decimales! Aún así, hay cantidades adimensionales que (por lo que podemos decir con nuestro estado actual de conocimiento) son más fundamentales, como la constante de estructura fina en el electromagnetismo. Podríamos preguntarnos si una constante fundamental es racional o irracional.
• Incluso para constantes fundamentales como la constante de estructura fina, solo conocemos estas constantes experimentalmente. Por lo tanto, solo conocemos un número finito de dígitos de la constante. Por lo tanto, nunca podemos saber realmente la respuesta a si la constante es irracional o racional, pero en términos prácticos, cualquier número en física siempre es racional (o, más precisamente, su valor de "mejor suposición" es racional, y también viene con un valor racional). estimación de nuestra incertidumbre sobre el mejor valor de estimación).
• Finalmente, de manera más abstracta y extraña, las constantes fundamentales no son realmente constantes sino que cambian con la energía debido al grupo de renormalización, por lo que incluso si pudiéramos responder a esta pregunta para una constante y un valor de energía, la respuesta en sí misma puede depender de la escala de energía en que haces la pregunta.

¡Creo que una conclusión es que los números irracionales son en realidad extremadamente extraños! Cualquier número que podamos construir escribiéndolo en una calculadora o aplicando una serie de operaciones aritméticas es, por definición, un número racional. Habiendo dicho eso, son una abstracción extremadamente útil para describir funciones continuas, incluso si en la práctica debido a nuestra precisión finita, en física nunca tratamos realmente con funciones continuas en un sentido matemático [veamos los comentarios que recibo al respecto... .]

El valor de$G$depende de las unidades en que lo midas, por lo que esta pregunta no está bien definida. En unidades SI$G$es casi seguro irracional ya que casi todos los números reales son irracionales. Pero podría optar por utilizar un sistema de unidades en el que$G=1$, en el que por supuesto sería racional.

Tiene un poco más de sentido hacer esta pregunta sobre las constantes físicas que son adimensionales . Hasta donde sabemos, ninguna de las constantes físicas adimensionales que ocurren naturalmente son racionales (aunque sin duda podría construir algunos ejemplos artificiales). El físico Arthur Eddington tenía la teoría de que el recíproco de la constante de estructura fina era un número entero, pero mediciones más precisas de su valor demostraron que era incorrecta.

¿Qué pasa con preguntas similares sobre todas las constantes universales?

Todas las constantes universales son simplemente números y, como tales, es muy probable que sean irracionales, pero esto sería casi imposible de probar.

Tenga en cuenta que muchas cosas que se perciben como constantes no lo son.
Por ejemplo, π y e no son "constantes", sino simplemente proporciones matemáticas fijas y están sujetas a cálculos con la precisión arbitraria que desee.