¿Es π2≈gπ2≈g\pi^2 \approx ga coincidencia?

La ecuación diferencial de un péndulo es

Si resuelves esto, obtendrás

Si defines un metro como la longitud de un péndulo con$T_{1/2}=1\,\mathrm{s}$esto te llevará inevitablemente a$g=\pi^2$.

De hecho, esto se propuso, pero la Academia de Ciencias de Francia decidió definir un metro como una diezmillonésima parte de la longitud de un cuadrante a lo largo del meridiano de la Tierra. Ver el artículo de Wikipedia sobre el metro . Que estos dos valores estén tan cerca uno del otro es pura coincidencia. (Bueno, si no tiene en cuenta que la Academia de Ciencias de Francia podría haber elegido cualquier fracción del cuadrante y probablemente tomó una que coincidiera con el péndulo de un segundo).

Aparte de eso,$\pi$tiene el mismo valor en todos los sistemas de unidades, porque es solo la relación entre el diámetro de un círculo y su circunferencia, mientras que$g$depende de las unidades elegidas para la longitud y el tiempo.

No está claro hasta qué punto es una coincidencia, pero en cualquier caso no es completamente una coincidencia.

Como puede ver, por ejemplo, en el artículo de Wikipedia sobre el metro , una unidad casi igual al metro pero derivada de un péndulo se propuso por primera vez en 1670 y la idea estaba en el aire cuando la Francia revolucionaria decidió hacer un nuevo conjunto de unidades.

Esta unidad derivada del péndulo, si se hubiera adoptado, habría hecho$g$igual a$\pi^2\, \mathrm{m}/\mathrm{s}^2$ por definición La prueba de esto es muy fácil y se puede encontrar en otras respuestas aquí, por lo que no lo repetiré.

(Entonces, si se hubiera adoptado esa definición, la respuesta a la pregunta aquí sería un inequívoco sí).

Aquí hay un enlace a una traducción al inglés del informe de la comisión nombrada por la Academia de Ciencias de Francia. Explican que la definición basada en el péndulo es muy buena pero tiene el inconveniente de que depende del segundo , que es una unidad bastante arbitraria. Así que en su lugar proponen tomar$10^{-7}$de un cuarto de meridiano de la tierra.

Ahora bien, esta unidad que han adoptado es (1) casi exactamente igual a la unidad basada en el péndulo, pero también (2) derivada de una manera conspicuamente simple de las dimensiones de nuestro planeta. Así que está sobredeterminado. ¿Borda, Lagrange, Laplace, Mongé y Condorcet (¡por cierto, una lista impresionante de nombres!) eligieron la definición particular basada en la tierra debido a su cercanía con la definición basada en el péndulo, o no? Eso es lo que es molesto poco claro.

Encuentro dos pistas útiles en su informe. Apuntan en direcciones opuestas.

Primero, dicen

al adoptar la unidad de medida que hemos propuesto, puede formarse un sistema general, en el que todas las divisiones sigan la Escala aritmética, y ninguna parte de ella obstaculice nuestros usos habituales: sólo diremos por ahora que esta diez millonésima parte de un cuadrante del meridiano que constituirá nuestra unidad de medida común no diferirá del péndulo simple sino de una ciento cuarenta quinta parte; y que así la una y la otra unidad conducen a sistemas de medida absolutamente similares en sus consecuencias.

lo que deja en claro que sabían lo cerca que estaban los dos y estaban felices de aprovecharlo. Pero, en segundo lugar, dicen

Podríamos, de hecho, evitar este último inconveniente tomando como unidad el péndulo hipotético que debería hacer una sola vibración en un día, una longitud que dividida en diez mil millones de partes daría una unidad de medida común, de unas veintisiete pulgadas. ; y esta unidad correspondería a un péndulo que hiciera cien mil vibraciones en un día: pero aún quedaría el inconveniente de admitir un elemento heterogéneo, y de emplear el tiempo para determinar una unidad de longitud, o lo que es lo mismo en este caso , la intensidad de la fuerza de gravedad en la superficie de la tierra.

por lo que claramente estaban preparados para aprobar la posibilidad de una unidad algo diferente, y el argumento que dan en contra de esta no tiene nada que ver con su desacuerdo con la unidad basada en el péndulo que está tan cerca del metro.

(Aunque... si hubieran terminado eligiendo esa definición, también podrían haber propuesto redefinir la segunda para que sea$10^{-5}$días, en cuyo caso habrían vuelto a hacer$g=\pi^2$por definición.)

Creo que el primero de esos pasajes es suficiente para dejar claro que no es una coincidencia total que$g\simeq\pi^2$. Borda et al sabían que su definición se acercaba a la basada en el péndulo, y ofrecieron ese hecho como una razón (menor) para aceptarla. Pero creo que lo segundo es suficiente para sugerir que fácilmente podría haber sido de otra manera : mi sensación es que si la definición basada en la longitud del meridiano hubiera sido, digamos, un 5% diferente de la basada en el péndulo, aún así la habrían preferido.

En los comentarios a continuación, el usuario Pulsar ha encontrado un artículo interesante sobre esto cuyas conclusiones son más o menos las mismas que las mías: ciertamente parece que el segundo basado en el péndulo fue una motivación para la elección de$1/(4\times10^{7})$de un gran círculo meridional, pero nada aquí está del todo claro y tenemos que confiar en conjeturas sobre las motivaciones de los científicos involucrados.

Además de la respuesta de Anedar, intentaré abordar las cosas desde una perspectiva más amplia.

Cuando crearon el sistema de unidades SI, eligieron unidades que son convenientes para los humanos. Desde una perspectiva científica, tendría sentido usar, por ejemplo, unidades gaussianas, pero para el hombre de la calle, es más útil tener las unidades más o menos de acuerdo con las cosas que los humanos encuentran en la vida diaria.

Entonces, para una escala de longitud, desea algo que tenga aproximadamente el mismo tamaño que un cuerpo humano. Y para una escala de tiempo, quieres algo que represente aproximadamente qué tan rápido pueden contar los humanos.

En la unidad SI, el metro y el segundo se eligieron de tal manera que:

• 1 m es aproximadamente la distancia típica de la pierna de un adulto.
• 1 s es aproximadamente el tiempo típico que se tarda en dar dos pasos.

Debido a que existe una relación entre la longitud de las piernas, el tiempo entre los pasos y la gravedad, esto corresponde a una constante de gravedad en este sistema de unidades de aproximadamente$\pi^2$.

Podrían haber elegido diferentes unidades antropocéntricas. El metro podría haberse definido el doble de largo o el doble de corto, y el segundo podría haberse definido el doble de largo o el doble de corto. Pero ni un factor de mil más o menos, entonces no habría sido aceptado por la comunidad, porque las unidades habrían sido muy inconvenientes.

Así que afirmo que en cada planeta con vida que desarrolló un sistema de unidades, su constante de gravedad local en su sistema de unidades está entre 1 y 100.

(Esta respuesta explica por qué el valor numérico de$g$en unidades SI no es 10000000. No explica por qué el valor numérico de$g$en unidades SI no es 13.)

$g$es un valor con unidades, y$\pi$es un número adimensional. Si considera un sistema de unidades que usa millas, días y gramos como unidades de longitud, tiempo y masa, puede ver que$g$será bastante diferente.

Suponga que los valores de metro y segundo son fijos. La ecuación para medio periodo en la respuesta de Anedar

Uno simplemente necesita encontrar un lugar en la tierra donde este sea el caso ya que$g$no es realmente una constante. En ese lugar uno ciertamente mediría$g=\pi^2$. Así que en ese lugar sería una coincidencia.

$\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad$ Es$~\pi^2\approx g~$una coincidencia ?

Algunos han respondido que sí , otros han dicho que no y otros han considerado ambas cosas . $(!)$como opciones perfectamente viables. Personalmente, no puedo evitar reírme, ya que esta pregunta me recuerda al famoso disco de Newton , del que se puede decir que es blanco y coloreado al mismo tiempo, dependiendo de si está girando o en reposo. Para agregar aún más a la ya desconcertante niebla de confusión, aventuraré aquí una cuarta opinión :

$\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\quad$ ¡No lo sabemos, y nunca lo sabremos!

De acuerdo, tal declaración, cuando se toma al pie de la letra, sin duda parecería una afrenta impía al célebre adagio de Hilbert , wir mussen wissen, wir werden wissen , pero antes de que alguien me acuse de abrazar el pesimismo filosófico o el agnosticismo epistemológico, permítanme asegurarles , querido lector, que ese simplemente no es el caso; más bien, estoy basando esta breve afirmación puramente en fundamentos matemáticos. Básicamente, hay cuatro formas principales en las que se puede crear una unidad de medida, que sea práctica o antropocéntrica, así como universalmente significativa, al mismo tiempo.$($por no hablar de reproducibles$)$ :

• la longitud del péndulo con un semiperíodo de exactamente un segundo , ya que la longitud de un péndulo con un semiperíodo de un minuto será excesivamente larga;

• la diezmillonésima , la cienmillonésima o incluso la milmillonésima parte de un meridiano terrestre o del ecuador de la Tierra, ya que las otras dos opciones adyacentes, es decir, la millonésima y la diezmilmillonésima parte, serían demasiado grandes , o demasiado pequeño;

• la distancia recorrida por la luz en la cienmillonésima , la milmillonésima o incluso la diezmilmillonésima parte de un segundo; de nuevo, las otras dos opciones adyacentes, es decir, la diezmillonésima parte y la cienmilmillonésima parte, serían demasiado largas o demasiado cortas;

• la longitud de un llamado tercio $($es decir, la sexagésima parte de un segundo $)$del meridiano o ecuador de la Tierra.

Por supuesto, alguien podría, en este punto, sentirse fácilmente tentado a decir que he cometido un abuso horrible e imperdonable al enumerar minuciosamente todas las potencias de diez enumeradas anteriormente, ya que el sistema métrico, tal como lo tenemos hoy, es coincidentemente decimal, pero tal no habría sido necesariamente el caso, dado un curso alternativo de la historia humana$($así, por ejemplo, si uno fuera a tomar la distancia recorrida por la luz en$10^{-9}$segundos, tal longitud podría fácilmente haber sido interpretada como la representación de un "nuevo pie", para ser subdividido en$12$"pulgadas nuevas", dando finalmente como resultado un "patio nuevo" de$0.9$metros$)$.

Ahora, la sorpresa impactante, que asombró a muchos en el momento de su primer descubrimiento, y todavía lo hace hoy en día, es la siguiente : la proporción de las primeras tres unidades es$1:4:3$, casi exactamente , la pura "bondad" de los números involucrados es absolutamente asombrosa, por decir lo menos .$($También me vienen a la mente espeluznantes, estimulantes, desafiantes, desconcertantes y fascinantes.$)$. Para colmo de males, como dice el proverbio, también notamos que el doble del valor de la última unidad, que representa la$3~600^\text{th}$parte de una milla náutica , igual$103$centímetros, con un error de menos de$\pm1$milímetro ; hablando de eso, la milésima parte de una milla náutica también está notoriamente cerca de la longitud de una braza , que mide la distancia entre las yemas de los dedos de los brazos extendidos de un hombre.

Además, incluso si uno se saliera del camino a propósito, e intencionalmente tratara de evitar las dos coincidencias anteriores, al$($repetidamente$)$dividiendo, basándose puramente en principios teóricos numéricos, la unidad no métrica antes mencionada en, digamos, séptimos,$($ya que las potencias de todos los demás primos anteriores ya aparecen abundantemente en su creación sexagesimal$)$, uno llegaría a la inquietante conclusión de que suma$5.4$metros, con un error de menos de medio milímetro .

Como un aparte, como$($Aún más$)$la coincidencia lo tendría, mi propia comprensión personal es$1.8$metros casi exactamente, con un error de no más de unos pocos milímetros, haciendo de la longitud anterior mi vara personal ; de hecho, soy una persona bastante métrica, ya que incluso mi propia altura se eleva a un poco más de$1.7$metros, y no excede$171\rm~cm$- pero yo divago$\ldots$

Algunas de las relaciones anteriores son$($fácilmente$)$explicado$($lejos$)$por medio de la aritmética básica, como, por ejemplo, el hecho de que$3\cdot7^3\simeq2^{10}\simeq10^3$, o$2^7\simeq5^3\simeq11^2$, y$2^8\simeq3^5$, siendo estos dos últimos “culpables” los responsables de la hermosa aproximación$3000_{12}\simeq5000_{10}$, o equivalente,$12^4\simeq2\cdot10^4$, que relacionan los millares y miríadas duodecimales con sus equivalentes decimales; otros, sin embargo, son$($mucho$)$más difícil de disipar. ¡ Sin embargo, esto es precisamente lo que nos esforzaremos por lograr!

Por lo tanto, acerquémonos sin miedo a la más impresionante de todas las coincidencias mencionadas anteriormente, y alegremente$($y sin piedad$)$ desacreditar la vida fuera de ella$-$en nombre de la ciencia! :-$)$

Ahora, tal como yo lo veo, si la relación en cuestión fuera verdaderamente $3:4$, luego dividiendo la distancia recorrida por la luz en un día$($ya que esta es la unidad de tiempo natural más pequeña que también es fácilmente observable por el hombre$)$a la longitud del meridiano de la Tierra debería dar un resultado de exactamente $648~000.~$Sin embargo, al emplear las medidas más precisas conocidas hasta la fecha, a saber, la de

En otras palabras, al mejorar la resolución de nuestras longitudes y proporciones, los fantasmas de las supersticiones modernas se hacen añicos para siempre en la fría luz del día por el poder de la razón, y nuestras mentes finalmente pueden estar seguras de que todo no fue más que un tempestad en una tetera ,
o mucho ruido y pocas nueces , como lo expresó tan maravillosamente Shakespeare hace tantos siglos. Ahora
todo lo que queda por hacer es rezar para que nadie se dé cuenta de que la proporción anterior también se puede expresar como$27~27\rm~BB$en base$12$, con un error de menos de una unidad y media. :-$)$

En una nota más seria, todo se reduce a divisores$($generalmente poderes de$2,~3,$y$5)$y sistemas de numeración.$-~$ ¿no es así?$\ldots$En palabras de Tomás Moro , confío en hacerme oscuro . :-$)$

Pi es invariante en la mayoría de los sistemas de geometría newtoniana. g, sin embargo, cambia drásticamente alrededor del planeta, así como cuando cambias de unidad. Pero si te gustan las coincidencias, hay alrededor de π * 10^7 seg/año.

Dado nuestro conocimiento de la física, esto seguramente debe ser una coincidencia.

$\pi$surge de la investigación de ciertas relaciones matemáticas. Consideremos la relación entre el radio y la circunferencia de un círculo: esta no es la ocurrencia más interesante de$\pi$(las relaciones estudiadas por Euler y después a veces se consideran más notables) pero es un buen ejemplo simple.

La circunferencia es un conjunto de puntos equidistantes de un origen. Las restricciones solo permiten una disposición única de tales puntos en ciertos tipos de espacio.$\pi$caracteriza este arreglo único. Nótese cómo se llegó a esto con un razonamiento puramente matemático, sin recurso alguno al mundo físico. Los extraterrestres en un universo paralelo completamente diferente o los demonios en el infierno podrían haber razonado de la misma manera y descubierto lo mismo.$\pi$, independientemente de cuán diferentes sean las leyes físicas que los gobiernan. Las matemáticas desconocen la realidad, no les importa lo que sucede en el llamado mundo real. Todo lo que es, es la deducción lógica de las consecuencias que surgen de un conjunto de axiomas.

Sucede que$\pi$puede observarse experimentalmente, por ejemplo, construyendo círculos con alambre. Pero aquí hay una causalidad muy sesgada: el bucle de alambre exhibe$\pi$ porque nuestro mundo es como el ideal platónico del espacio euclidiano , no al revés. Aunque vale la pena señalar que, por supuesto, hay una razón por la que Euclides comenzó exactamente con ese tipo de espacio, y no con otro.

$g$surge de la acción de las masas unas sobre otras. Por razones poco claras, el mundo que habitamos contiene masas. La forma en que estas masas se comportan parece seguir ciertas reglas. Estas reglas fueron deducidas por la observación del mundo físico . Análisis de las reglas arrojadas$g$.

Los extraterrestres en el Universo X, o los demonios en el Infierno, no pudieron encontrar$g$sin observar nuestro universo. Por métodos análogos a los nuestros, pueden encontrar$g_{alien}$o$g_{hell}$. Estos pueden ser fácilmente diferentes de nuestros$g_{earth}$, pero tampoco tienen prohibido igualarlo coincidentemente. Los números no tienen absolutamente nada que ver entre sí, siendo partes de sistemas físicos inconexos.

Tenga en cuenta que la física en sí misma es una construcción abstracta, no hay razón para creer que el universo obedece nuestras leyes de la física, simplemente nunca se ha observado que actúe en contradicción con esas leyes que aún no han sido refutadas (la circularidad es significativa). A diferencia de las matemáticas, la construcción de la física se basa no solo en suposiciones a priori , sino también en observaciones a posteriori de nuestro mundo físico .

No tienes que aceptar eso.$\pi_{earth}=\pi_{hell}=\pi_{alien}$. Puede, por ejemplo, hacer la inquietante pero razonable objeción de que las matemáticas no son más que un artefacto del cerebro humano, y no son universales sino a posteriori . En cierto sentido, esta posición es débil, porque hemos observado que los animales tienen una comprensión similar de las matemáticas, pero, por supuesto, eso es solo una evidencia circunstancial, no una prueba.

Si aceptas eso$\pi_{earth}=\pi_{hell}=\pi_{alien}$, Siendo eso$\pi$se obtiene sin aportes del mundo físico: Entonces, mientras que todos$\pi$es necesariamente igual, de todos$g$Necesita no ser. Por lo tanto, la relación que observas solo se mantendría en nuestro universo, no en el infierno o el Universo X. En otras palabras, nuestro universo "fácilmente podría haber tenido" un diferente$g$- no está claro si las leyes de la física que conocemos no tuvieron más remedio que ser como son, o si hubo algún tipo de lanzamiento de dados para conjurar un montón de leyes aleatorias, y "podríamos haber" terminado con un conjunto diferente Ni siquiera está claro si las leyes se han mantenido siempre o se mantendrán en el futuro. Aunque nunca los hemos observado que no aguanten hasta ahora, excepto los que hicimos nosotros, pero ya no hablamos de eso...

Uno puede observar que mientras las matemáticas no se preocupan por el mundo, el mundo parece obedecer a las matemáticas. Nunca hemos observado que el mundo real contradiga la lógica matemática. Entonces, no es imposible que un día, la verdadera naturaleza de$g$se entenderá, y resultará que tiene un origen geométrico (por ejemplo), y descubriremos que su observación es de hecho significativa, no una mera coincidencia. Pero que yo sepa, no existe tal explicación geométrica. Dudo que esto suceda alguna vez tampoco, porque la relación funciona solo en la Tierra, y ni siquiera en todas partes de la Tierra.

Nota 1: En esta respuesta, tomé una posición filosófica con respecto a la naturaleza de las matemáticas, que no se entiende que sea necesariamente cierta. Hay objeciones válidas al respecto. Personalmente, siento que mi posición es prima facie congruente, por lo que escribí esta respuesta. Si tiene un concepto radicalmente diferente de las matemáticas, tal vez se puedan dar otras respuestas a su pregunta original.

Nota 2: No quería ser malo y darte una respuesta aburrida desde el principio. En aras de la exhaustividad, aquí está:$\pi^2$es como$g$... solo si usa metros y segundos, dos unidades explícitamente arbitrarias. En unidades de Planck la relación no existe. De hecho, con las unidades correctas, puedes hacer$g$ser como$e$, o su edad, o su código postal, o cualquier otro número que desee.